Untersuchungen über Transformationsgruppen II. 373 
Lagen x. annehmen, so bekommen wir eine ganze Schaar 
von Gruppen gn. Es ist aber keineswegs sicher, dass es 
> verschiedene Gruppen %, giebt, indem zu verschiedenen 
Punkten, ja sogar zu unendlich vielen Punkten, eine und 
dieselbe Gruppe g;-n gehören kann. 
Wir setzen p 
Pxi (m, amen: xs) = Din 
betrachten die dem Punkte x, zugehörige Untergruppe 9... 
deren infinitesimalen Transformationen 
3 Oni: (Kar — Pu, À, — --. — Pin Xa) 
die arbiträren Constanten 6,4, enthalten. Diese Untergruppe 
ist identisch mit der dem Punkte xx? zugehörigen Untergruppe, 
wenn es für beliebige Werthe der Constanten dnix immer 
möglich ist den Constanten 6,4, solche Werthe zu ertheilen, 
dass die Gleichung 
Zdars( Katz — Pr À, —...) = 3 dar aix — Pr, X, — ...) 
1 
identisch besteht. Aber die Gleichung 
(dar — Ont) Kurz — (dare Px ° — dix Pr) X,—...=0 
zeigt, da X,... 42... X, unabhängige inf. Transformationen 
sind, dass die constanten Coefficienten 
datt — Önti, Antk Pr, — On4k Pay: 
sämmtlich verschwinden müssen. Daher sind die den Punkten 
xx? und a, zugehörigen (r-n)-gliedrigen Untergruppen identisch 
dann und nur dann, wenn | 
o ay o a 
Px, = Pkyy> ++ Pun 7 Pin 
ist, wenn also die qxi Funktionen von den x sind, welche bei 
der Substitution æx = a, dieselben Zahlenwerthe wie bei der 
Substitution x; = a erhalten. 
