374 Sophus Lie. 
Es ist nun insbesondere denkbar, dass jeder Punkt xx in 
einer continuirlichen Mannichfaltigkeit von Punkten x ent- 
halten ist, welche die Eigenschaft besitzt, dass zu jedem Punkte 
xx dieselbe Gruppe g;-n wie zu dem Punkte a gehört. Dies 
tritt ein, wenn es eine continuirliche Anzahl Punkte x; giebt, 
für welche alle mx dieselben Zahlenwerthe, wie für den 
Punkt z,° annehmen, wenn also die Gleichungen 
Pil, ... xs) = Pri 
sich nicht hinsichtlich ©, ...x, auflösen lassen, anders aus- 
gesprochen, wenn sich unten allen ox; nicht s unabhängige 
Funktionen von æ,...æs sondern nur 6 etwa @,.. po finden 
lassen. Alsdann zerlegen die Gleichungen 
P, = G,+.+, PG = A6 
mit den 6 arbitråren Constanten a,...a6 den Raum in 056 
Mannichfaltigkeiten. Wählen wir einen Punkt xx in einer 
beliebigen unter diesen Mannichfaltigkeiten, so gehören zu 
allen übrigen Punkten x, derselben Mannichfaltigkeit dieselbe 
Untergruppe 9,.n wie zu dem Punkte ax”. 
Zerlegt sich der Raum in der hiermit angegebenen Weise 
in Mannichfaltigkeiten, so ist es klar, dass jede Transfor- 
mation > er Xxf, welche einen Punkt x,’ einer solchen Man- 
nichfaltigkeit invariant lässt, gleichzeitig alle übrigen Punkte 
a derselben Mannichfaltigkeit invariant lässt. 
Auf diese Weise haben wir eine wichtige Theilung aller 
Gruppen X,f... A,f in zwei getrennte Classen gewonnen. 
In der einen Classe gehören die Gruppen von der Beschaffen- 
heit, dass bei allen Transformationen, die einen Punkt allge- 
meiner Lage an seiner Stelle lassen, gleichzeitig jeder Punkt 
einer continuirlichen Mannichfaltigkeit invariant bleibt. Solche 
Gruppen nennen wir systatische Gruppen. In die zweite Classe 
gehören diejenigen Gruppen, bei welchen alle Transformationen, 
die einen Punkt allgemeiner Lage festhalten, nicht gleichzeitig 
