376 Sophus Lie. 
Haben wir eine systatische Gruppe, so werden die Man- 
nichfaltigkeiten 
P,=4,.-. Po=ae 
eben, weil die Gruppe imprimitiv ist, bei der Gruppe unter 
einander vertauscht. Es ist äusserst leicht diesen Satz, den 
wir durch analytische Betrachtungen gewonnen haben, durch 
reinbegriffliche Ueberlegungen herzuleiten, indem wir uns auf 
die Entwickelungen der vorigen Nummer stützen. Sei in der 
That X, allgemeines Symbol derjenigen Transformationen 
der Gruppe Xf, die den Punkt allgemeiner Lage xx in- 
variant lassen und es mögen mit p, alle Punkte bezeichnet 
werden, welche. gleichzeitig mit dem Punkte xx", also bei 
allen Transformationen X, fest bleiben. Alle Punkte p, 
bilden eine Mannichfaltigkeit M,, die selbstverständlich durch 
die Gl. #,=a,...96-ao nach passender Wahl von den 
Constanten a, besiimmt wird. Führen wir nun irgend eine 
beliebige aber bestimmte Transformation X der Gruppe X,/ 
aus, so erhalten alle Puukte p, neue Lagen p,, deren Inbe- 
griff eine Mannichfaltigkeit M, bildet. Wir haben nur zu 
zeigen, dass unsere Gruppe Xxf co” Transformationen ent- 
hält, welche auf einmal alle Punkte p, einzeln stehen lässt. 
Es ist aber klar, dass die ~'™ Transformationen X*X,X 
diese Forderung erfüllen. Auch die Mannichfaltigkeit M, 
besitzt somit die Eigenschaft, ‘dass ihre Punkte bei denselben: 
ov Transformationen der r-gl. Gruppe ihre Lage behalten. 
M, wird daher wie M, dargestellt durch die Gleichungen 
P, =a,...96=46, wenn nur die Constanten a, passend ge- 
wählt werden. Da X eine beliebige Transformation unserer 
r-gliedrigen Gruppe darstellt, so ist hiermit auch rein begrift- 
lich nachgewiesen, dass die Mannichfaltigkeiten 9 = ax bei 
der Gruppe X,/ unter einander vertauscht werden. 
6. Der Begriff systatische und asystatische Gruppe steht 
in dem allergenauesten Zusammenhange mit der früher ent- 
