380 Sophus Lie. 
Fragen wir nun nach allen inf. benachbarten Punkten 2;, 
welche wie der Punkt 2; sämmtliche diese r-n inf. Transfor- 
mationen zulassen, so erhalten wir zu ihrer Bestimmung die 
Gleichungen 
(&— 2) 
Ersetzen wir daher die Incremente x; — 2; durch die Dif- 
ferentialen dæ” und lassen hiernach den Index 0 weg, so 
erkennen wir, dass alle œxi Integrale von den Differential- 
gleichungen 
(B) dSn+k,i — Pr, dei — .:. — Pun dEni = O 
sind. Dass diese Differentialgleichungen keine anderen 
Integrale als eben die px: besitzen, ist an sich klar; man 
verifieirt es übrigens leicht durch Differentiation von den 
Identitäten (A), welche zeigen, dass die gefundenen Diffe- 
rentialgleichungen die Form 
dør, & rt dPxn Bae = 0 
erhalten können; diese Form bringt in Evidenz nicht allein, 
dass die px; Integrale sind, sondern zugleich, dass sie die 
einzigen Integrale sind. Zu bemerken ist übrigens, dass sich 
aus den totalen Differentialgleichungen (B) keine neue Gleichung 
zwischen den Differentialen dx durch Differentiation herleiten 
lässt; denn die von uns befolgte Methode zur Bestimmung von 
den zu x, benachbarten Punkten xx + dax, welche gleichzeitig 
mit ©. fest bleiben, giebt uns eben alle Relationen, welche 
die da, erfüllen. Giebt es daher mindestens ein Werthsystem 
dæ, ...dæs ausser dør = 0, welches alle Differentialgleichungen 
(B) erfüllt, so ist unser Gruppe systatisch. Dies aber deckt sich 
damit: die Gruppe ist systatisch, wenn die Gleichungen 
3; axy (4 — a7) = 9 
