Untersuchungen über Transformationsgruppen II. 181 
durch mindestens ein Werthsystem x; — a; ausser æ; — x;° = 0 
erfüllt werden. 
Satz. Weiss man von denjenigen Reihenentwickelungen 
nach den x, — xx der infinitesimalen Transformationen Ze; X;f 
einer Gruppe, welche mit Gliedern erster Ordnung anfangen, 
dass diese Glieder erster Ordnung die Form besitzen 
Zi 3 av (4 — x) pi 
(k=1,2...r-n) 
so entscheidet man, ob die Gruppe Xxf systatisch ist, indem 
man die linearen Gleichungen 
Say (m; — 2°) = 0 
bildet. Giebt es mindestens ein nicht verschuindendes Werth- 
system xj— x; , welches alle diese linearen Gleichungen erfüllt, 
so ist die Gruppe systatisch; sonst nicht. 
§ 3. 
Allgemeine Methode zur Bestimmung aller Gruppen von 
Punkttransformationen einer ‘n-fachen Mannichfaltigkeit. 
In dem uächstvorangehenden Paragraphen zeigten wir in 
grossen Zügen, wie man alle Gruppen von Punkttransfor- 
mationen des Raumes &, ...%n, welche eine gegebene Zahl 
etwa r Parameter besitzen, durch ausführbare Operationen 
bestimmen kann. Es giebt nun, wie gross auch r sein mag, 
immer Gruppen mit r Parametern; wählt man nämlich z. B. 
r verschiedene Funktionen von x, etwa f,(æ,)...f.(æ,), die 
keine lineare Relation Zcxfx = 0 erfüllen, so sind 
FC) Pos fat) Po --- FAL) Po 
unabhingige inf. Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe. 
Hieraus folgt, dass man keineswegs sagen kann, dass die 
Entwickelungen des citirten Paragraphen die Bestimmung 
