182 Sophus Lie. 
aller endlichen Gruppen von Punkttransformationen einer 
n-fachen Mannichfaltigkeit auf ausfiihrbare Operationen redu- 
ciren; denn eine unbegrenzte Anzahl ausführbarer Operationen 
ist nicht mehr eine ausführbare Operation. 
Ungeachtet der wichtigen Ergebnisse .des ersten Para- 
graphen harrt daher das Problem: »alle endlichen Gruppen 
von Punkttransformationen einer n-jachen Mannichfaltigkeit 
zu bestimmen«, noch ihrer Erledigung. In diesem Paragraphen 
zerlegen wir dieses allgemeine Problem in eine grosse Anzahl 
von Unterproblemen und geben gleichzeitig für jedes n eine 
rationelle Classification von allen zugehörigen transitiven 
Gruppen. Schon früher gaben wir die allgemeine Erledigung 
des gestellten Problems für die Fälle n = 1, n=2 und im 
Wesentlichen auch für n = 3. 
8. Zunächst müssen wir, um die Grundlage für die an- 
gekiindigten Entwickelungen zu gewinnen, einige allgemeine 
Betrachtungen vorausschicken, wobei wir uns u. A. auf die 
allgemeine Theorie der Erweiterung einer Gruppe stützen. 
Sei | 
| 
Xf = J Eule, ...&.) (= eee) 
© | 
Ti 
eine ganz beliebige r-gliedrige Gruppe. Betrachten wir wie 
früher x, ...æ, als Funktionen einer Hülfsvariablen ¢, welche 
durch die Gruppe nicht transformirt wird, und setzen wie 
damals 
ï Gri 
== ny) DEE aay 
dt 3 de: j iy | 
so sind die Ausdriicke 
5 of N 
Auf = En), + DE vr 
i 
die inf. Transformationen einer erweiterten Gruppe. Ueber- 
tragen wir die im dreifachen Raume gebråuchliche Termi- 
