586 Sophus Lie. 
Jetzt können wir unser Classificationsprincip aller transi- 
tiven Gruppen formuliren. Wir betrachten alle transitiven 
Gruppen X,/, deren zugehörigen linearen Gruppen (A) inner- 
halb der allgemeinen linearen homogenen Gruppe gleichbe- 
rechtigt sind, als bildend eine Classe Gruppen von Punkt- 
transformationen. Es ist dabei wohl zu bemerken, dass zwei 
transitive Gruppen A%/, welche derselben Classe zugehören, 
keineswegs dieselbe Parameterzahl zu haben brauchen. Sie 
haben allerdings beide in der Umgebung eines Punktes all- 
gemeiner Lage gleichviele und zwar n inf. Transformationen 
nullter Ordnung, und ebenfalls gleichviele etwa m inf. Trans- 
formationen erster Ordnung; dagegen kann die Zahl der inf. 
_ Transformationen zweiter und höherer Ordnung für beide 
Gruppen verschieden sein. 
9. Aus dem Vorangehenden fliesst nun die folgende 
rationelle Methode zur Bestimmung von allen transitiven 
Gruppen von Punkttransformationen X,/ einer n-fachen Man- 
nichfaltigkeit xv, ... an. 
Zuerst bestimmt man alle linearen homogenen Gruppen 
in &] ...&%n, indem man alle innerhalb der allgemeinen line- 
aren homogenen Gruppe gleichberechtigten als identisch auf- 
fasst. Für jede solche Schaar von gleichberechtigten linearen 
Gruppen wählen wir eine als Typus. 
Zu jeder solchen Typus 
2 Mis Pi P; 
entspricht, wie wir sehen werden, mindestens eine fransitive 
Gruppe, deren zugehörige lineare Gruppe (A) derselben Typus 
angehört. 
Wir suchen alle Gruppen Xf, unter deren inf. Trans- 
formationen es in der Umgebung eines Punktes x; = 0 allge- 
meiner Lage n von nullter Ordnung giebt, 
på ts =P een 
