390 Sophus Lie. 
die Gleichung 2x” =0 invariant lässt, besteht aus allen 
Transformationen 
a, Dx! a’ x! Pi‘, > ær" Pr. 
Wir suchen alle Gruppen X,/, deren zugehörige lineare 
Gruppe (A) entweder alle soeben aufgestellten Transformationen 
oder auch alle von der Form 2;' px’ — ax’ pi" umfasst. 
Wir stellen uns also hier eigentlich zwei verschiedene 
Probleme, indem wir alle Gruppen X,/ suchen, deren zuge- 
hörige lineare Gruppe (A) zwei vorgelegte Formen besitzt. 
Diese beiden Probleme sind indessen genau mit einander 
verwandt; die durch einen festgehaltenen Punkt x, gehenden 
Linienelemente æ;' werden nämlich in beiden Fällen in genau 
derselben Weise transformirt, indem die Transformation = x; p;! 
alle Linienelemente æ;' stehen lässt. 
Da die gesuchte Gruppe X;/ transitiv ist, so hat sie in 
der Umgebung eines Punktes allgemeiner Lage, etwa des 
Punktes xx = 0, sicher n inf. Transformationen nullter Ordnung 
Pı res. Bin Pa t...=P, 
n(n — 1) 
— inf. Transformationen erster Ord- 
ferner jedenfalls 
nung, nämlich alle von der Form 
Ti Pk — pit... = Vik 
und möglicherweise noch eine hinzutretende Transformation 
erster Ordnung, nemlich 
Gy py eh Capa re 0 
Welche inf. Transformationen zweiter und höherer Ord- 
nung vorkommen können, muss jetzt untersucht werden. 
Sei 
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eine inf. Transformation zweiter Ordnung der gesuchten 
