394 Sophus Lie. 
noch eine einzige von ersier Ordnung, welche dann die Form 
Za px +... besitzt, so sind zwei Fälle möglich. Entweder 
giebt es gar keine weitere inf. Transformation in der Gruppe, 
oder aber giebe es gerade n weitere, deren Reihenentwickelungen 
in der Umgebung von x, = 0 die Form besitzen: 
2a; 3 vr Pe — pi SA? + 
Es giebt hiernach drei verschiedene Fälle, welche wir 
jetzt successiv erledigen werden. 
11. Zuerst suchen wir alle transitiven Gruppen von 
Punkttransformationen mit n +" +1 inf. Transformationen, 
deren Reihenentwickelungen in er Umgebung des Punktes 
allgemeiner Lage die Form besitzen 
Pr t...= Px, Vi Pk — Øk Pi +... = Six, DParpet...= VU. 
Die S;, und U sind offenbar verknüpft durch die Relationen 
(Six U)=0 
(Six; Suv) = Exp Si, — Ep Sky EN Sip +é, Sky, 
wo ézp für =p den Werth 1 und in allen übrigen Fällen 
den Werth Null besitzt. 
Ehe wir jetzt weiter gehen, normiren wir die P, in zweck- 
mässiger Weise. Ist nämlich 
(Pr U) = Pr + 3 aix Six + a U, 
so führen wir, wie erlaubt, die rechte Seite als neue P; ein 
und erhalten hierdurch die einfachen Formeln 
(P, U) = Py. 
Um hiernach die Formeln 
(Px Sag) = &a Pe — Exp Pat Z48; +A U 
näher zu bestimmen, bilden wir die Identität 
(Pr U) Sag) + ((U Sag) Px) + ((Sag Px) U)=0, 
