398 Sophus Lie. 
man ohne weiter iibersieht, die Differentialgleichung zweiter 
Ordnung 
den tr ten 0 33 
und selbstverständlich keine andere Gleichung 
p SEC. da) dæ dæ 10 
invariant. 
Aus dem Vorangehenden lässt sich überdies herleiten, 
dass die Gruppe (C) die allgemeinste endliche continuirliche 
Gruppe ist, welche die Gleichung 3 dx,” = 0 invariant lässt. 
Die allgemeinste derartige Gruppe, welche diese Forderung 
erfüllt, umfasst nämlich jedenfalls die inf. Transformationen (C) 
und kann daher in der Umgebung des Punktes x; = 0 keine 
weitere von nullter oder erster Ordnung enthalten; dann aber 
hat sie auch keine weitere von höherer Ordnung und deckt 
sich somit mit der Gruppe ‘C). 
Setzen wir als bekannt voraus, dass auch jede unendliche 
Gruppe mit den beiden inf. Transformationen X, Yf zugleich 
die inf. Transformation X(Y(f))— Y(X(f)) umfasst, so 
können wir aus dem Vorangehenden ein noch weitergehendes 
Resultat herleiten. Lässt in der That eine continuirliche, 
endliche oder unendliche Gruppe die Gleichung 3 dz? <0 in- 
variant, so enthält sie offenbar in der Umgebung des Punktes 
allgemeiner Lage 2, =0 keine weiteren inf. Transformationen 
nullter und erster Ordnung als 
Px, Vi Px — Ir Pi, = Uk PK; 
räsonnirt man dann weiter, wie pag. 392, so erkennt man zu- 
nächst, dass alle auftretenden inf. Transformationen zweiter 
Ordnung die Form 
dæ Zu pi — Pr SU? +... 
besitzen, ferner dass es gar keine inf. Transformationen dritter 
oder höherer Ordnung giebt. Die gesuchte Gruppe ist somit 
endlich und deckt sich mit der früher gefundenen. 
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