404 : Sophus Lie. 
Bilden wir endlich die Jacobische Ideutitåt mit den drei 
inf. Transformationen Pi, Pa, Pair, 80 ergiebt sich, dass 
6ii+1=0 ist, und dementsprechend, dass alle cx, deren Indices 
à und k verschieden sind, den Werth Null besitzen. Wir 
haben also die drei Formein 
(Pu 1 Pa) = cu Soir; (Put, Pa) = Gi Soin, oi; 
(Po; Pyi+2) = Cit So4,91-4-2 9 
welche die gemeinsame Form 
CPA Pe) = Ci Sa,p 
besitzen. Diese letzte Formel gilt, wie man leicht einsieht, 
für alle Werthe der Indices af, und dabei ist die Constante 
ci offenbar von i unabhängig: 
(Py Pg) = € Sag. 
Hiermit sind alle Relationen bestimmt. Es giebt offenbar 
zwei uud nur zwei Möglichkeiten. Ist c= 0, so ist unsere 
Gruppe holoedrisch isomorph, ja ähnlich mit der Gruppe 
Pr, Vi Px — Ix Pi, 
d. h. mit der Gruppe aller Bewegungen eines 2n-fach ausge- 
dehnten Fuclidischen Raumes. Ist dagegen ¢ verschieden von 
Null, so ergiebt sich, indem ve P, als neue P, eingefiihrt 
wird, dass c ohne Beschränkung gleich 1 gesetzt werden kann. 
Alle derartigen Grnppen sind daher holoedrisch isomorph und 
gleichzeitig ähnlich mit der projectivischen Gruppe einer nicht 
ausgearteten Fläche zweiten Grades im 2n-fachen Raume 
Li HANE 
Ist die Zahl m ungerade, etwa m = 2n + 1, so gelangen 
wir durch analoge Ueberlegungen genau zu demselben Resul- 
tate, wie jetzt gezeigt werden soll. 
Wie früher gesagt, denken wir uns jetzt, dass die in- 
variante Gleichung 3 fx(æ)æ;'zx'=0 bei der Substitution xx = 0 
