Untersuchungen über Transformationsgruppen II. 411 
Ganz wie im vorigen Falle ergiebt sich, dass nur die 
beiden Fälle ce = 0 und c= 1 wesentlich verschiedene Gruppen 
liefern; offenbar giebt die Annahme e = 0 die Bewegungen 
eines (2n + 1)-fachen Fuclidischen Raumes, die Annahme 
c = O giebt die projectivische Gruppe einer allgemeinen 
Fläche zweiten Grades, also die Gruppe aller nicht-euclidi- 
schen Bewegungen im (2n + 1)-fachen Raume. 
Fassen wir die erhaltenen Resultate zusammen, so er- 
halten wir das folgende allgemeine Theorem, unter dem sich 
frühere Resultate von Liouville und Rieman als specielle 
Fälle subsumiren. 
Theorem. Lässt eine continuirliche, endliche oder 
unendliche Gruppe von Punkttransformationen des Raumes 
21 »++Xm eine Differentialgleichung zweiten Grades 
Z fik (8 ... &m) da da, = 0 
mit nicht verschwindender Determinante fix invariant; werden 
ferner die durch einen festgehaltenen Punkt (x) gehenden Rich- 
tungen ær! transformirt durch die allgemeinste projectivische 
Gruppe = fix xi‘ ær! = 0, so sind vier Fälle möglich: Die Gruppe 
ist ähnlich mit der Gruppe aller Bewegungen des m-fachen 
Raumes; 2) sie ist ähnlich mit der Gruppe aller Aehnlichkeits- 
transformationen des m-fachen Raumes; 3) sie ist ähnlich mit 
der Gruppe aller conformen Transformationen; 4) sie ist åhn- 
lich mit der allgemeinen projectivischen Gruppe einer Fläche 
zweiten Grades mit nicht verschwindender Determinante. 
Die im Vorangehenden ausdrücklich ausgeschlossenen 
Fälle m=2, m=3 sind schon bei früheren Gelegenheiten 
erledigt worden. 
Zum Schlusse noch einige kurzgefasste Untersuchungen 
über die Zusammensetzung der gefundenen Gruppen. 
Die projectivische Gruppe einer Fläche zweiten Grades 
