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Lösung unseres Problems der Di^eiteilung des Winkels ist die 



folgende, bei welcher die Konstruktion einer einzigen Hyperbel 



in Verbindung mit einem Kreis nötig wird. 



a sei der gegebene Winkel, in welchem mit beliebigem 



Radius AO^AB ein Kreisbogen beschrieben wird. Es gilt 



einen Punkt C zu finden, der den Bogen OB im Verhältnis 



2 : 1 teilt. Xennt man die Koordinaten dieses Punktes in 



dem durch als Nullpunkt, die Sehne OB als Abscissenaxe 



eingeführten rechtwinkligen Koordinatensystem x und y/, so 



erhält man : 



y ^ xig<^ =r (d — .r)tg5cp. 



ä bedeutet die Sehnenlänge OB^ cp den Winkel BOG. Durch 



Elimination von (^ bekommt man die Hyperbelgleichung 



j/^ = 3x'^ — 2dx. 



Der Mittelpunkt dieser Hyperbel liegt auf der Sehne und hat 



d 

 die Abszisse — ; die Hyperbel geht durch und hat die Halb- 



o 



d d 



axen — und — =^, B ist der eine Brennpunkt. Da die Kon- 



3 V3 ' ^ 



stanten der Hyperbel nur von der Sehnenlänge d abhängen, 

 so erkennt man leicht, daß man mittelst einer einzigen Hyperbel 

 alle möglichen Winkel trisezieren kann.^ 



Außer den Kegelschnitten benutzten die griechischen 

 Mathematiker zur Lösung der oben erwähnten Probleme auch 

 höhere Kurven, welche gerade zu diesem Zwecke konstruiert 

 und studiert wurden. Die Quadratrix ist bereits genannt worden; 

 neben sie traten noch als besonders wichtig Zissoide und Kon- 

 cJioide, jene beim Belisclien Problem, der Verdoppelung des 

 Würfels, diese bei der Dreiteilung des Winhels.^ 



Zum Zwecke der praktischen Ausführung dieser Kon- 

 struktionen bedurfte man natürlich Apparate, welche diese 

 höhern Kurven in einem Zuge lieferten; denn eine punktweise 

 Konstruktion ist nur eine Näherungsmethode. Solche Apparate 

 sind in alter und neuer Zeit vielfach verfertigt worden. Schon 

 Nikomedes, der Erfinder der Konchoide, erfand eine einfache 

 Vorrichtung — es ist die älteste derartige neben Lineal und 

 Zirkel — , mit der sich eine Konchoide zeichnen läßt.^ 



1 Siehe Figur «. 



2 Siehe Figur 6. 



' Siehe Moritz Cantor, 1. c, sowie F. Klein, 1. c. 



