4 L. Lichtenstein: 



bedient sich des A 7 erfahrens der sukzessiven Approximationen. Gewisse 

 hierbei auftretende P'unktionen sind nur für reelle Werte ihrer Argumente 

 erklärt und können, weil sie nach der Voraussetzung nichtanalytische 

 Funktionen ihrer Argumente sind, für komplexe Werte dieser Argumente 

 nicht erklärt werden, während den Argumenten schon bei der Durch- 

 führung der zweiten Approximation komplexe Werte beigelegt werden. 



Die vorliegende Arbeit ist der Beantwortung der von Lipschitz 

 aufgeworfenen Frage gewidmet. Ihr Umfang erklärt sich durch das Be- 

 streben, die Voraussetzungen, von denen bei der Behandlung des Problems 

 ausgegangen wird, nach Möglichkeit zu reduzieren. 



Es mögen x und y die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes in 

 der Ebene, X,Y,Z ebensolche Koordinaten eines Punktes im Räume, c 

 ein zusammenhängendes, ganz im Endlichen liegendes Gebiet in der Ebene 

 {x,y) bezeichnen. Es seien die Gleichungen 



IX = X(x,y), 

 Y=Y(x,y), 

 Z=Z{x,y) 



vorgelegt. Die Funktionen X(x, y) , Y(x, y ), Z(x,y) seien als reelle, ein- 

 deutige und stetige Funktionen der beiden reellen Argumente x und y im 

 Gebiete c erklärt. Es wird vorausgesetzt, daß diese Funktionen stetige 

 partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen. Es sei w(x,y) irgendeine 

 dieser partiellen Ableitungen; es mögen ferner (x,y) und (x + h , y + h') 

 die Koordinaten zweier beliebigen Punkte des Gebietes c bedeuten. Es 

 wird angenommen, daß die Funktion ui(x,y) der Ungleichheitsbedingung 

 \w(x + h,y + h')-*(x,y)\<A {\h\ + \h'\}, 



worin A eine gewisse positive Zahlgröße bezeichnet, genügt. 



Durch die Gleichungen (i.) wird dem Gebiete c ein ganz im Endlichen 

 liegendes Stück C einer Fläche zugeordnet 1 . Es wird angenommen, daß 

 die Funktionaldeterminanten 



1 Wie in dem dritten Kapitel näher ausgeführt wird, besitzen die Funktionen u)(x,y), 

 außer vielleicht in einer gewissen Menge von Punkten vom Flächenmaße Null, beschränkte 

 partielle Ableitungen erster Ordnung. Die vorgelegte Fläche kann als im wesentlichen 

 stetig gekrümmt bezeichnet werden. 



Eine Funktion einer oder mehrerer reeller Veränderlichen heißt in einem endlichen 

 Gebiete beschrankt, wenn ihr absoluter Betrag in diesem Gebiete eine endliche obere 

 Grenze hat. 



