Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 5 



d(Y,Z) Z(Z,X) H(X. Y) 

 3{x,y) ' d(.v,y) ' 3(.r,y) 



nicht gleichzeitig verschwinden. 



Alsdann gilt der Satz: 



In der Umgebung eines jeden Punktes im Innern des Ge- 

 bietes C läßt sich ein Flächenstück abgrenzen, welches zu- 

 sammenhängend und in den kleinsten Teilen ähnlich auf ein 

 ebenes Flächenstück abgebildet werden kann. 



Das Quadrat der Maßzahl der Länge eines Linienelementes des Flächen- 

 stückes C sei durch die Gleichung 



( 2 .) d * 2 == Edx* + 2 Fdxdy + G dy* 



dargestellt. Die Funktionen E, F und G sind eindeutig und stetig. Sie 

 erfüllen den über die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktionen 

 X, Y, Z gemachten Annahmen zufolge im Gebiete c die Ungleichheitsbedin- 

 gungen 



\E(x + h,y + h')-E(x,y)\ ] 



\F(x + h,y + h')-F(x,y)\ < A l {\h\ + \h'\}, 



\G(x + h,y + h')-G(x,y)\ J 



worin A, eine gewisse positive Größe bezeichnet. Die Größen E, G und 

 EG-F* sind wesentlich positiv. 



Die behauptete Möglichkeit der konformen Abbildung wird dargetan 

 sein, sobald es gelingt, zwei reelle, mit ihren partiellen Ableitungen erster 

 Ordnung eindeutige und stetige Funktionen u{x,y) und v(x,y) der 

 Gleichung 



(3 .) X ( Edx* + 2 Fdxdy + Gdif) = du- + do- 



gemäß zu bestimmen, in welcher der Multiplikator A eine wesentlich 

 positive, eindeutige und stetige Funktion der beiden reellen Argumente 

 x und y bezeichnet. Für die Gleichung (3.) kann man auch setzen 



(4.) fx ( ]/Edx + F+t VßG i ' dy ) = du+ idv , 



worin der Faktor fx eine von Null verschiedene, eindeutige und stetige 

 komplexe Funktion der reellen Argumente x und y bezeichnet. Aus der 

 Gleichung (4.) werden die weiteren Relationen 



