Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 7 



ähnlicher Weise ; auf die etwa erforderlichen Modifikationen wird am Schluß 

 des dritten Kapitels kurz hingewiesen. 



Im zweiten Kapitel dieser Arbeit wird eine Grundlösung der Differential- 

 gleichung (9.) aufgefunden und damit die Möglichkeit der konformen Ab- 

 bildung eines stetig gekrümmten Flächenstückes auf einen Teil einer Ebene 

 in dem vorher erwähnten besonderen Falle bewiesen. In dem dritten 

 Kapitel werden alsdann die beschränkenden Voraussetzungen fallen ge- 

 lassen, und es wird ein System von Lösungen der simultanen Differential- 

 gleichungen (8.) angegeben. Hiermit ist die eingangs aufgestellte Be- 

 hauptung vollständig bewiesen. 



In dem ersten Kapitel werden einige Hilfssätze, welche den wohl- 

 bekannten Sätzen über die partiellen Differentialquotienten des logarith- 

 mischen Potentials analog sind, vorausgeschickt. 



Die Betrachtungen des ersten und des zweiten Kapitels sind gewissen 

 Untersuchungen von Hrn. E. E. Levi und der Methode der Parametrix 

 von Hrn. Hubert nahe verwandt. (Man vergleiche hierzu die näheren 

 Ausführungen in § 3 des dritten Kapitels.) In einer im Jahre 1907 ver- 

 öffentlichten Abhandlung 1 gibt Hr. E. E. Levi den Beweis der Existenz 

 der Grundlösung der allgemeinen linearen partiellen Differentialgleichung 

 der 2/>ten Ordnung des total elliptischen Typus. Insbesondere beweist 

 Hr. E. E. Levi die Existenz einer Grundlösung der partiellen Differential- 

 gleichung 



/ * 3 2 w , 8 2 m 9 2 m ,8m du , ,. 



9x 2 Sxdy 3y s dx ?y J 



Die Koeffizienten a, b, c, d, e, f stellen reelle und stetige Funktionen 

 dar, die folgende Eigenschaften haben. Die Funktionen a, b und c haben 

 stetige partielle Ableitungen der ersten und der zweiten Ordnung, die 

 ihrerseits der Hold ersehen Bedingung oder einer verwandten Bedingung 

 des Hrn. Dini genügen. Die Funktionen d, e und / haben stetige par- 

 tielle Ableitungen erster Ordnung. 



Auf das in der vorliegenden Arbeit behandelte Problem angewandt, 

 ergeben die Resultate des Hrn. E. E. Levi nach einigen weiteren Über- 

 legungen den Beweis der Möglichkeit, der konformen Abbildung, wenn die 



1 Vgl. E. E. Levi, Sülle equazioni lineari totahnente ellittiche alle derivate parziali, 

 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1907, S. 275 — 317. 



