Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 21 



Die in der Formel (12.) auftretende Funktion K(x, y ; £, vi) hat so- 

 mit den Wert 



Diese Funktion verhält sich stetig, außer wenn x = £, y = y ist. Das 

 Produkt 



ist der Ungleichheitsbedingung (35.) zufolge dem absoluten Betrage nach 

 kleiner als 



4AM[\^-x\ + \ n -y\] ■ r < ~r— 



und hat, als Funktion von £,»] betrachtet, in dem Punkte (x , y) eine Un- 

 bestimmtheitsstelle. 



Es bleibt nun noch nachzuweisen, daß die partiellen Ableitungen 



dJ(x,y) dJ(x,y) VJ(x,y) &J{x,y) . _. 4 . . .. . _ . 



— \ — — , — ^ — — , * y , ,: , , deren Existenz jetzt feststeht, ste- 



dx äy 9x 2 dy' J 



tige Funktionen ihrer beiden Argumente sind. Dies soll der Gegenstand 



des folgenden Paragraphen sein. 



§5- 

 Was zunächst die partiellen Ableitungen — — und — — anbetrifft, so 



wird in dem sechsten Paragraphen dieses Kapitels bewiesen werden, daß 

 diese Funktionen für alle Werte der Variablen x und y im Innern und auf 

 dem Rande des Gebietes T der Hölderschen Bedingung genügen, d. h. 

 daß die Ungleichheitsbedingungen bestehen 

 dJ(x + Ax,y + Ay) dJ(x,y) 



(49-) 



d x dx 



dJ(x + Ax.y + Ay) ?J(x,y) 



<A,[(Axy + (AyY]-, 0<\< 1. 



3y ty 



Hierin bezeichnet A % eine gewisse positive Größe. Aus den Ungleich- 

 heitsbedingungen (49.) ergibt sich sofort, daß die partiellen Ableitungen 



— — und -r — sich stetig verhalten. 

 dx dy ° 



Es sei (x,y) ein Punkt im Innern des Gebietes T und Y(^,v\) eine 

 der Hölderschen Bedingung genügende Funktion. 



