24 L. Lichtenstein: 



3 2 J 

 Hiermit ist nunmehr bewiesen, daß die partielle Ableitung — — sich im 



Innern des Gebietes T stetig verhält. In ähnlicher Weise kann gezeigt 



3 2 J 

 werden, daß auch die partielle Ableitung yy eine stetige Funktion ist. 



§6. 



Für die weiteren Betrachtungen dieser Abhandlung erweist sich der 

 folgende Hilfssatz als nützlich: 



Es mögen (x,y) und (x l) y l ) zwei verschiedene Punkte des 

 Gebietes T bezeichnen. Die Integrale 



rt \ er io g{(g-^) 2 +^-?A) a } ^ 



Ji(x,y;xuyi) = I — — r J -de,dri, 



( 6) J T J [(Z-xY + h-yYV 



Ji(*,.y;*i,y.)= JJ [(«-•)■ + fo-y)T T [(S-»i) , + (i-yi)']~ T **! 



T 



genügen den Ungleichheitsbedingungen 



(57-) \J l {x,y 1 x 1 ,y 1 )\< M , 



(58.) \J a (x, yix^yj] <M' \log {(x l -x)* + (y 1 -yf}\ + N>. 



M a , M' und N' bezeichnen gewisse positive Größen. 

 Dieser Hilfssatz wird als bekannt vorausgesetzt 1 . 

 Es wird nunmehr der folgende Satz bewiesen: 



Es sei W(£,yj) eine beliebige reelle, eindeutige und stetige 

 Funktion ihrer beiden Argumente. Die Integrale 



(59.) K{x,y) = jj S log {ß (£-*)» + <t( n -y)*}.W{$ , n )dS 



dr\ 



und 



(60.) L(x,y)= ^j (a^ + b^ (log {ß(Z~xy- + a(r l -yy})W(Z,r l )dZdr l = 



T 



genügen der Hölderschen Bedingung. 



1 Vgl. J. Plemelj, Über lineare Randwertaufgaben der Potentialtheorie, Monatshefte 

 für Mathematik und Physik, 1904, S. 337 — 411, insbesondere S. 364 — 365. 



