Konforme Abbildung nichtanalytischer Fläclienstüeke . 



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Es ist 



K{x 1 ,y)-K(x,y) 



Xi — X 



ff 2ß[a(r 1 -y)»-ß(j 

 JJ W(u,ß;x lt 



Beweis. 



g-*) (6-*,)] JP(6,q) 



IT 



y) W(a,ß;a:,y) 



rfi; dr\ 



[{ü-xtf+irt-yy^itt-xy + ^-yy}^ 



did 



qa/j. 



Der Ausdruck W(x , y \ x 1 , y ; £ > *l) ist, als Funktion der Variablen £ , v] 

 betrachtet, für alle Werte der Variablenpaare (x , y) und (x l , y) im Gebiete 7 1 

 beschränkt. Die Funktion W(x , y; x t ,y; £,v\) ist überall, mit Ausnahme 

 der Punkte (x, y) und (x l , y), stetig. In den ausgeschlossenen Punkten hat 

 sie Unbestimmtheitsstellen. Dem soeben betrachteten Hilfssatze zufolge ist 



K(x 1 ,y)-K(x,y) 



< M l 



lOg | Xy — X | 



+ A T x, 



worin M s und iV, gewisse positive Größen bezeichnen. Hieraus folgt weiter 



K(x 1 ,y)-K(x,y)\ < M,. \xy-x\ 



log | x x - x | 



+ A 7 , \x x -x\. 



Aus der bekannten Ungleichheitsbedingung 



l 



|ln*| 



fx> fürO-csSl 



folgt, wenn man der Einfachheit halber \x = -£ setzt, 



log | x, — # | 



< 2 I x, — # I 



für I *i — x I < 1 , 



somit 



(6l.) | K{x 1 ,y)-K(x,y)\ < 2M, |*,-*J* + N l \x i -x\ ^ (2iV/, + N l )\x l -x\* . 



In ähnlicher Weise kann man zeigen, daß für alle Werte der Variablen- 

 paare {x,y t ) und (x,y) im Innern und auf dem Rande des Gebietes T, 



sofern |y,-y|^l ist, die Ungleichheitsbedingung 



i 

 (62.) \K{x, yi )-K{x,y)\ < M 2 |y,-y| T 



besteht. Hierin bezeichnet M 2 eine gewisse positive Größe. 



Es sei 3I 3 die größere der beiden Zahlen 'IM^ + Ny und M 2 . Aus den 

 Ungleichheitsbedingungen (61.) und (62.) folgt für alle dem absoluten Be- 



Phys.-math. Klasse. 1911. Anhang. Abh. VI. 4 



