Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 27 



Beachtet man die Beziehung (35.); so überzeugt man sich ohne Mühe, 

 daß der Ausdruck W t {x, y; x x , y ; £, 11) dem absoluten Betrage nach einen 

 festen Wert nicht übersteigt und, als Funktion von £ und v[ betrachtet, sich 

 überall im Gebiete T, die Punkte (x,y) und (x l , y) ausgenommen, stetig ver- 

 hält. In den ausgeschlossenen Punkten hat die Funktion W t (x, y ; ar, , y ; £ , *)) 

 Unbestimmtheitsstellen. 



Nunmehr ergibt sich, wie vorhin, für alle Werte der Variablenpaare 

 (x,y) und (x x ,y) im Innern und auf dem Rande des Gebietes T, die der 

 Ungleichheitsbedingung | ;r, - x \ < 1 genügen, die Beziehung 



(65.) |Z»|<J&|ft-«|T. 



M 4 bezeichnet ebenso, wie die später auftretenden Größen M b ,M , ■■■ , 

 eine gewisse positive Zahl. 

 Es ist nun weiter 

 T, = (*-.) ff WA^y^y^,) i _ tfeA|t 



JJ [(?-^) 2 + (l-2/) 2 ] T [(?--r0 2 + (^-y) 2 ] T 



JT,(*,jf;«k,y;6,«l) = 2aW(?,*,) (ß-^^-a^— -) 11^. 

 w , = (i-y)r(S-*.)' + (q-y) g F (i-.y) [(£-»■)' + (*i-y)'r 



ß (g-r,) 3 + a (/) -yY ß (| -a-) 2 + a (r, -y) a 



Beachtet man, daß die partiellen Ableitungen — und — stetige 



Funktionen ihrer beiden Argumente sind, so überzeugt man sich ohne 

 Mühe, daß die Funktion W 2 (x,y ; x t ,y ; £, »]) sich ganz wie die Funktion 



W"i (x , y \ *i » y ; £ » i) verhält. 



Man findet daher, wie oben, eine Ungleichheitsbedingung 

 (66.) |.£ 4 | <M t \x 1 -rx\^, \xi-x\<\. 

 Endlich ist 

 L 6 = (*,-.) ff *^y.^y;^) ^rf,; 



JJ [U-*) 2 + (i-y) 2 ] T [(S-*.) 2 + (i-y) 2 ] 2 



' irr* «•*, «•£ „i- 2g ß(i-.v)( g/s - a6, ) tr ^-'») (^ + ^). 



Die Funktion W 3 (x,y; x ls y; £, vi) verhält sich ganz wie die Funktion 

 W t (x , y ; j-, , y ; £ , *)) . Man findet daher wieder eine Ungleichheitsbedingung 



(67 .) | Z/5 1 < j1/ c I Xi - x | '- , | *i — x | < 1 . 



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