28 L. Li c h ten st ein : 



Aus den Relationen (64.) bis (67.) folgt eine Ungleichheitsbedingung 



(68.) \L 1 {x 1 ,xj) — L l {x,y)\<M 1 \x l -x\-', \x x -x\<,\. 



In analoger Weise überzeugt man sich von dein Erfülltsein einer Un- 

 gleichheitsbedingung 



(69.) \L i (x 1 ,y)-L*(x,y)\<M fi \x l -x\~* , \x l -x\<\. 



Aus den Beziehungen (68.) und (69.) ergibt sich eine weitere Ungleich- 

 heitsbedingung 



(70.) \L(x l ,y)-L(x,y)\ < M 9 \x,-x\^ , |«i-*|<l. 



In analoger Weise läßt sich zeigen, daß für alle Werte | y t — y j < 1 



(7 1 -) \L{x,ij l )-L(x,y)\ <M l0 \y l -y\~ . 



Aus den Formeln (70.) und (71.) ergibt sich für alle dem absoluten 

 Betrage nach hinreichend kleinen Werte der Differenzen (x 1 -x) und (^-y) 

 eine Ungleichheitsbedingung 



(72.) \L(x l ,y l )-L{x,y)\< M u [\x t -xfi + |y x -y|T] < M n fö {(x.-xy + (yi-y)*}' 



Das Integral L(x , y) erfüllt, wie behauptet, die Höldersche Bedingung. 

 Dieselbe Eigenschaft hat das Integral 



M(x,y)= jj-L {ß(Z-xy + a(r } -yy}.W(!;, n )dZdr ] . 

 T 



Der Beweis ist wie vorher zu führen. 



Es mag zum Schluß noch der folgende Hilfssatz erwähnt werden: 

 Es sei (x ,y) ein fester Punkt im Innern des Gebietes T; es sei ferner 

 K. i (x,y ; £, 15) eine beschränkte Funktion ihrer vier Argumente, welche 

 überall, außer wenn x = £, y = »i, sich stetig verhält. Als Funktion der 

 Variablen (£ , y\) betrachtet, hat die Funktion K., (x , y ; £ , v\) im Punkte (x , y ) 

 eine Unbestimmtheitsstelle. Es sei schließlich K 3 (£,vi) eine beschränkte 

 Funktion ihrer beiden Argumente, welche überall, außer vielleicht im 

 Punkte (x,y), sich stetig verhält. 

 Das Integral 



g(«,y)= rr *(*^^>*(gv>> log^-^+c-y).}^,, 



JJ [(g-.*)* + (,,_y)3]T 



ist eine in allen Punkten im Innern und auf dem Rande des 

 Gebietes T stetige Funktion der beiden Variablen x und y. 



