Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 29 



Dieser Hilfssatz wird als bekannt vorausgesetzt. 



Die Funktionen V(x,y) und W(x,y) sind bis jetzt als durchaus 

 stetig vorausgesetzt worden. Sie mögen nunmehr in einem Punkte (x ,y ) 

 im Innern des Gebietes T wie [(x-x f + (y-y ) 2 ]~^ unendlich werden. 

 Man überzeugt sich ohne Mühe, daß das Integral J(x,y) in allen Punkten 

 im Innern des Gebietes T, außer wenn x = x , y = y , stetige partielle 

 Ableitungen erster und zweiter Ordnung hat und die Relation (48.) erfüllt. 

 Die Integrale K{x,y), L(x,y), M(x,y) genügen in allen von dem Punkte 

 (#o>yo) verschiedenen Punkten des Gebietes T der Hölderschen Bedingung. 



Es sei K irgendein den Punkt (x , y ) nicht enthaltender Teil des 

 Gebietes T. Es ist z. B. 



£(«.y)=Jj(«-^- + *^-)(iog{ß(«-*) , + *(ii-y) , »F(5 i1 )d|rfi,= 



-JHP 



k r-K 



Da die Funktion V(£,»i) in dem Gebiete K stetig ist, so erfüllt das 

 erste der beiden Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung dem so- 

 eben bewiesenen Hülfssatze zufolge in dem Gebiete K die Hold ersehe 

 Bedingung. Das über das Gebiet T-K erstreckte Integral hat offenbar in 

 dem Gebiete K sogar stetige partielle Ableitungen erster Ordnung. Das 

 Integral L(x,y) erfüllt daher, wie behauptet, in jedem den Punkt (x , y Q ) 

 nicht enthaltenden Teile des Gebietes T die Hol der sehe Bedingung. 



Kapitel IL 

 §'• 



Wie in der Einleitung gezeigt worden ist, wird die Möglichkeit der 

 konformen Abbildung eines gegebenen Flächenstückes auf einen Teil einer 

 Ebene dargetan sein, sobald es gelingt, irgendeine von Null verschiedene 

 mit ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetige Lösung 

 der partiellen Differentialgleichung 



(730 ^\\/E^) + ^y-\yG^y)= Q 



