Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 31 



(77.) 8a r/ -i 9 * -/ 



[*(*-*)» + ä(y-y)»]* &(*_*)* + ä(y-y)' 



sein. Die Funktion f{x,y) ist in allen Punkten des Gebietes c, den Punkt 

 (x,y) ausgenommen, stetig. Das Produkt 



f{x,y) [(*-£)» + (y_jf)»]T 



ist für alle Werte der Variablen x,y\x,y im Gebiete c dem absoluten Be- 

 trage nach kleiner als eine gewisse positive Größe N und bat, als Funk- 

 tion der Größen x und y betrachtet, im Punkte {x,y) eine Unbestimmt- 

 heitsstelle. 



Es wird nun 



(78.) U(x,y) = jJlo g {ß(}--a ! y + a (y l -y)*}.V(l;,r l )dt-dr i 



T 



gesetzt. Die Funktion V(%, »]) ist so zu bestimmen, daß das Doppelintegral 

 (78.) der Differentialgleichung (77.) genüge. Nimmt man an, daß die Funk- 

 tion V(£,yi) sich im Gebiete T, außer etwa im Punkte (x,y), stetig ver- 

 hält und der Hölderschen Bedingung genügt, im Punkte (x,y) aber 

 höchstens wie [(x-xf + (y— y) s ]" T unendlich wird, so erhält man nach den 

 Hilfssätzen des Kapitels I (vgl. besonders die Schlußbemerkung) zur Be- 

 stimmung der Funktion F(£,*|) die Beziehung 



(79.) F(«,y)-ffi(«,y;|,ii)F(|,ii)rfgrfi,=/(*,y) 1 



T 



(80.) L(x,y.Z,v) = --^-L(\og{ß(Z-xy + c l .(r l -yy}) = 



~ 2tt l * aP) [ß(a:-5)* + a(y— »,)»]» 2* ß (*-?)* + a(y-*,) a 



Die Funktion L{x,y\^,v\) ist der Funktion /(.r, y) ganz analog. Sie 

 verhält sich stetig, außer wenn x = £ , y = i\ ist. Das Produkt 



[(£- *) 2 + (tj -y) 2 p £(*,«/:?,/,) 

 hat, als Funktion der Veränderlichen | und *] betrachtet, im Punkte (x , y) 

 eine Unbestimmtheitsstelle. Wie man sich leicht überzeugt, ist für alle 

 Werte der Variablen x , y ; £ , *) im Gebiete c 



(81.I | L(*,y;?,ij)|[(*-?) a + (y-ri) 2 r < A\ 



