Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 37 



ist in dem Gebiete K a eine eindeutige, mit ihren partiellen Ableitungen 

 erster und zweiter Ordnung stetige Lösung der Differentialgleichung (74.), 

 welche mit der Lösung u{x,y) durch die Gleichungen 



, . 3y , 3m 3ü 9m 



dx 3y dy dx 



zusammenhängt. 



Aus den in der Einleitung gegebenen Entwickelungen ergibt sich nun- 

 mehr der folgende Satz: 



Durch Vermittelung der Funktion u-\-vi wird ein gewisser 

 einfach zusammenhängender Teil des gegebenen Flächenstückes, 

 welcher den Punkt {x ,y ) in seinem Innern enthält, zusammen- 

 hängend und in den kleinsten Teilen ähnlich auf ein gewisses 

 ebenes Gebiet abgebildet. 



Zu den soeben durchgeführten Betrachtungen ist noch folgendes zu 

 bemerken : 



Es würde naheliegen, 



e «(*,sr) + ii>(*,y) _ ü( x ,y) + iv(x,y) 



zu setzen und die durch die Funktion ü(x . y) + iv(x , y) vermittelte kon- 

 forme Abbildung zu betrachten. Die Funktionen u(x , y) und v(x, y) bilden, 

 wie man sich leicht überzeugt, gleichfalls ein System der Lösungen der 

 simultanen partiellen Differentialgleichungen (94.). Diese Lösungen sind 

 noch in der Umgebung des Punktes {x,y) beschränkt. Man hätte hierbei 



indessen das Verhalten der partiellen Ableitungen — — , ->r— in der Um- 

 gebung des Punktes (x , y) zu untersuchen, was sich, wie es scheint, ohne 

 langwierige Spezialbetrachtungen kaum würde durchführen lassen. 



Kapitel m. 



Es sei f(x) eine in dem Intervalle < x < 1 erklärte reelle, stetige 

 Funktion der Variablen x, die der Ungleichheitsbedingung 



\f{x + h)-f(x)\<A i h 

 genügt. Hierin bezeichnet A 3 eine gewisse positive Zahlgröße. 



