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Nach einem bekannten Satze des Hrn. Lebesgue 1 hat die Funktion 



f(x) in dem Intervall < x < 1 , außer höchstens in einer gewissen Menge 



df(x) 

 von Punkten vom Maße Null, die beschränkte Ableitung • . 



° dx 



Es mögen jetzt die Wertsysteme (x , y ) und (x + h , y + h') Koordinaten 

 zweier beliebigen Punkte im Innern oder auf dem Rande des Gebietes c 

 bezeichnen. Es sei F(x,y) eine reelle, stetige Funktion der Veränder- 

 lichen x und y, die der Ungleichheitsbedingung 



(95.) | F{x + h,y+ h') - F(x ,y) | < A t { \h\ + \ h> \ } 



genügt. Hierin bezeichnet A, eine gewisse positive Größe. 



Es mögen nunmehr die Wertepaare (x[,y 1 ) und {x",y,) die Koordi- 

 naten der Schnittpunkte der Geraden y = y l mit der Randkurve des Ge- 

 bietes c bezeichnen. (Der Einfachheit halber wird vorausgesetzt, daß die 

 Randkurve des Gebietes c von jeder der X- oder der F-Achse parallelen 

 Geraden höchstens in zwei Punkten geschnitten wird.) Dem soeben er- 

 wähnten Satze von Hrn. Lebesgue zufolge ist in allen Punkten des Gebietes 



y = y l , x[<x^. x[\ 



außer höchstens in einer Menge von Punkten vom Längenmaße Null, die 



dF(x,y) 

 partielle Ableitung -^— vorhanden und erfüllt die Ungleichheitsbe- 



dingung 



^F(x,y) 



< Ai 



dx 



Da diese Beziehung für jeden Wert y, der Variablen y gilt, vorausgesetzt, 

 daß auf der Geraden y~y, überhaupt Punkte des Gebietes c liegen, so ist 



die partielle Ableitung - in allen Punkten des Gebietes c, außer 



höchstens in einer gewissen Menge von Punkten vom Flächenmaße Null, 

 vorhanden und beschränkt. 



Desgleichen ist die partielle Ableitung - ' überall im Gebiete c, 



außer höchstens in einer gewissen Punktmenge vom Flächenmaße Null, 

 vorhanden und beschränkt. Es ist 



dF{x,y) 



dy 



< A t . 



1 Vgl. H. Lebesgue, Leijons sur l'integration et la recherche des fonctions primi- 

 tives, Paris, 1904, S. 121. 



