Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstiicke. 89 



Die partiellen Ableitungen - -~ L ^— und - '^' sind entsprechend 



A d.v dy l 



in den Gebieten, in denen sie existieren, im Lebesgueschen Sinne inte- 

 grierbar. Da der Wert eines Lebesgueschen Integrals sich nicht ändert, 

 wenn man die zu integrierende Funktion in irgendeiner Menge von Punkten 

 vom Maße Null beliebig variiert, ja selbst unendlich große Werte annehmen 



dF dF 



läßt, so kann man den Funktionen — — und — — in den vorhin ausge- 



d/ dy ° 



schlossenen Punktmengen mit Hrn. de la Vallee Poussin beliebige end- 

 liche oder unendlich große Werte beilegen. 



Es möge vorübergehend irgend ein Teil des Gebietes e, insbesondere 

 auch das Gebiet c selbst, mit r u bezeichnet werden. Hiernach sind die 

 beiden im Lebesgueschen Sinne genommenen Doppelintegrale 



Co Co 



sicher vorhanden. 



Nach einem Satze des Hrn. L. Tonelli kann man eine unendliche 

 Folge von Polynomen P 1 (x,y), P„(x,y), •■• angeben, die folgende Eigen- 

 schaften haben. 



Die partiellen Ableitungen ^ ' y) , '^'V' s i n( j ffo. a u e Werte 



des Zeigers k in allen Punkten im Innern und auf dem Rande des Ge- 

 bietes c dem absoluten Betrage nach kleiner als die Zahl A t . In allen 

 Punkten dieses Gebietes ist 



(96.) lim P/c {x,y) = F{x , y) . 



k = 00 



In demselben Gebiete, höchstens mit Ausnahme einer gewissen Menge 

 von Punkten vom Flächenmaße Null, ist schließlich 



(97:) lim W>* =™, lim 5P f^ } =-|g'. 



Vy/ ' * = oo 3jt dx * = 00 dy dy 



1 Vgl. L. Tonelli, Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di piü variabili 

 reali, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, S. 1 — 36. 



