40 L. Lichtenstein: 



Nach einem bekannten Satze des Hrn. Lebesgue 1 ist hiernach 



(98.) lim P k {x ,y)d.rdy = F '(x , y) dx dy , 



<k Co 



,y) _ ffSF{x,y) 



(99-) 



lim I -^ — "-^-dxdy 



9x 



rfj: dy , 



1 



sj/ia^^-;/»^^. 



— > -^ — . -= — existieren und der Hölderschen Bedingung genügen. 

 <U/ 9jt 3y 0000 



(100.) 



A{|/«| + |A'|} 



§2. 



Nach diesen Vorbereitungen sollen jetzt die Betrachtungen der beiden 

 vorhergehenden Kapitel weiter fortgeführt werden. 



Es ist bis jetzt angenommen worden, daß die partiellen Ableitungen 

 dE 8E 



dx 



Diese Voraussetzungen werden jetzt fallen gelassen, und es wird nur an- 

 genommen, daß die Größen E und G die Ungleichheitsbedingungen 



\E{x + h,y + h')-E{x,y)\\ 



\G(x + h,y + h')-G(x,y)\l 

 erfüllen. Hierin bezeichnet A h eine bestimmte positive Größe. Die Funk- 

 tionen a und b = a~ l erfüllen augenscheinlich gewisse den Formeln (100.) 



, _ , . 9a 9a 96 96 ... ... 



analoge Relationen. Die partiellen Ableitungen - — , — , - — , -r— sind überall 



im Gebiete c, außer höchstens in einer Menge (q) von Punkten vom Flächen- 

 maße Null, vorhanden und beschränkt. Im folgenden wird, da Verwechse- 

 lung nicht zu befürchten ist, für das Wort »Flächenmaß« der kürzere Aus- 

 druck »Maß« gebraucht. Die zu einer Punktmenge (p) im Gebiete c kom- 

 plementäre Menge wird mit c-p bezeichnet. 



Es sei (x , y) irgendein Punkt des Gebietes c-q. Wie aus der Formel 

 (80.) hervorgeht, ist die Funktion L (x , y ; £ , *]), als Funktion der Variablen 

 (£, v) aufgefaßt, im Gebiete c, außer im Punkte £ = x, *) = y, stetig. In 

 dem zuletzt genannten Punkte wird der Ausdruck L(x,y;£,ri) von der 

 ersten Ordnung unendlich groß. Es sei jetzt zweitens (x,y) ein Punkt 



1 Vgl. H. Lebesgue, a. a. 0. S. 114 



