Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke. 41 



der Menge (q). Die Funktionen — ,— sind für diese Punktmenge nicht 



ox ay ° 



erklärt; man erteile ihnen daselbst beliebige endliche Werte, etwa den 



Wert Null. Offenbar wird dann die Funktion L(x,y;£,v\) im Punkte 



£ = x , vi = y wie vorhin von der ersten Ordnung unendlich groß. 



Es sei jetzt (£,y\) irgendein Punkt des Gebietes c. Als Funktion der 

 Variablen (x , y) aufgefaßt, ist der Ausdruck L(x,y;£,Y\) im Gebiete c-q, 

 außer im Punkte x = £ , y = r, , beschränkt, stellt daselbst nach der Klassi- 

 fikation des Hrn. Baire eine Funktion der ersten Klasse dar und ist so- 

 mit im Lebesgu eschen Sinne integrierbar. 



Es sei nunmehr die lineare Integralgleichung 



(IOI.) V(x,y)-jjL(x, r ,^,r l )V^,ri)d^dy, : =f(x,y), 



r 



f(x,y) = - — Z.[log{i (r , y) {x -xf + a(x ,y) (y -y) 2 }] , 



in der (x,y) irgendeinen in dem Gebiete c x gelegenen Punkt der Menge 

 c-q bezeichnet, vorgelegt. Das in der Gleichung (101.) auftretende Doppel- 

 integral ist, wie aUe in diesem Abschnitte vorkommenden Integrale, als 

 Integral im Sinne des Hrn. Lebesgue aufzufassen. Der Bequemlichkeit 

 halber wird hierbei stets von der von Hrn. de la Vallee Poussin ange- 

 gebenen Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffes Gebrauch 

 gemacht'. 



Es sei q l die Gesamtheit aller Punkte, welche dem Kreisgebiete T und 

 der Punktmenge q zugleich angehören. 



Die Funktion V' 0) (x , y) — f(x , y) ist in der Punktmenge T-q l eine 

 Funktion der ersten Klasse; sie ist somit sicher im Lebesgueschen Sinne 

 integrierbar. Die Funktion 



(102.) VU{x,y)-V®(z,y) = {[l{x, V ;§,*,) F*»(g,i, )<*«*, 



T 



ist für alle Werte der Variablen (x , y) im Gebiete T-q l} außer im Punkte 

 (x,y), erklärt und stellt daselbst eine beschränkte, im Lebesgueschen 

 Sinne integrierbare Funktion dar. Dies kann etwa aus gewissen vom Ver- 



1 Vgl. Ch. J. de la Vallee Poussin, Reduction des integrales doubles de Lebesgue. 

 Application ä la definition des fonctions analytiques, Bull, de l'Acad. Roy. de Belgique, 

 1910, S. 768 — 798, insbesondere S. 771. 



Phys.-math. Klasse. 1911. Anha?ig. Abh. VI. 6 



