42 L. Lichtenstein: 



fasser angegebenen Sätzen über die Integration eines bestimmten Integrals 

 in bezug auf einen Parameter gefolgert werden 1 . In der Umgebung des 

 Punktes (x,y) wird die Funktion V (1) (x, y) -T (0) (a;, y) logarithmisch unend- 

 lich. Man sieht nunmehr leicht ein, daß für alle Werte der Variablen (x , y) 

 im Gebiete T-q, die Funktionen V {i) (x,y)-V^(x,y), V^{x,y)-V^{x,y), ••■ 

 beschränkt und im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind. Man überzeugt 

 sich ferner, daß in allen Punkten (x , y) der Menge T-q l die Beziehungen 

 (84.), (85.) und (86.) ihre Gültigkeit behalten. Die in der Punktmenge T-q^ 

 erklärte unendliche Reihe (86.) bls konvergiert auch jetzt noch unbedingt 

 und im gleichen Grade. Die durch die Formel (87.) in dem Gebiete T-q l 

 erklärte Funktion V(x,y) ist daselbst, außer im Punkte (x,y), beschränkt 

 und im Lebesgueschen Sinne integrierbar. Im Punkte (x , y) wird die 

 Funktion V(x,y) von der ersten Ordnung unendlich groß. 

 Das Integral 



(103.) V{x,y)= 0*log{j3(?-^) s + tt (7,-y)»}-F(S,r])dg^ 



T 



ist in allen Punkten (x , y) des Gebietes T stetig und hat überall, den 

 Punkt (x , y) ausgenommen, stetige partielle Ableitungen erster Ordnung. 

 Es sei, wie früher, (x ,y ) ein Punkt des Gebietes c,, dessen Ent- 

 fernung von dem Punkte (x,y) den Wert 4 w hat, und K der Kreis vom 

 Halbmesser \ u> um den Punkt (x ,y ). Es sei schließlich wieder 



(104.) ®{x,y;x,y) = u(x,y) = log {b(x-xf + ä (y-y) 2 } + U{x,y). 



In allen Punkten der Kreisfläche K sind die partiellen Ableitungen 



du(x.y) , du(x.y) . - , , . , /ii«(.i,«)\ 2 / dutx ,y)\- 



\ ! " und - \ •" stetig und der Ausdruck \r zLL \ + V^ 1 



dx dy ° \ dx ) \ dy j 



ist von Null verschieden. 



,,.,,. r, ! 3 2 £/(.r,y) , &U(x,y) 

 Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung — 3 und r— ^ — 



sind im allgemeinen nicht endlich oder nicht vorhanden und demgemäß 

 kann die Funktion u(x,y) = Q>)(x,y;x,y) nicht mehr als eine Lösung 

 der partiellen Differentialgleichung (74.) angesehen werden. Nichtsdesto- 

 weniger gibt es, wie gleich gezeigt werden wird, in allen Punkten des 



1 Vgl. die Arbeit: Über die zweimalige Integration von Funktionen zweier reeller 

 Veränderlichen, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 191 1, S. 55 — 69. 



