Konforme Abbildung nichtanalytischer FlächenstücJce. 43 



Gebietes JC eine eindeutige, mit ihren partiellen Ableitungen erster Ord- 

 nung stetige Funktion v{x,y), für welche die Gleichungen bestehen 



, s 3» 3« 3» ,3m 



öy dx 3a: dy 



Diese Behauptung kann man auch, wie folgt, ausdrücken: 

 Das Integral 



(106.) -b — dx + a — dy, 



erstreckt über eine beliebige geschlossene, mit allen ihren 

 Punkten dem Gebiete Ä',, angehörende rektifizierbare Kurve, 

 hat den Wert Null. 



Beweis. 

 Es sei dem zu Anfang dieses Kapitels genannten Satze des Hrn. 

 Ton eil i gemäß a 1 (x, y) , a 3 (x, y) , • • eine unendliche Folge von Polyno- 

 men, die folgende Eigenschaften haben: 



Die partiellen Ableitungen - ,y , — ?~^ sm( l m a U en Punkten 



im Innern und auf dem Rande des Gebietes c dem absoluten Betrage nach 

 kleiner, als eine gewisse positive Größe A 6 . In allen Punkten des Ge- 

 bietes c ist 



(107.) lima k (x,y) = a{x,y). 



In demselben Gebiete, höchstens mit Ausnahme einer Menge q^ von 

 Punkten vom Maße Null, ist 



(,Ö8.) lim 9 * ( *- y) = W*^, lbj ^'^ (■'■•//) = 9^-r.y) , 

 t = oo 3-c ('•'• i = co 3.'/ 3.'/ 



Setzt man — ; r = b,Ax . y), so erhält mau die weiteren Relationen 



a t (x,y) ' v J] 



1 v v , , v , , v ,■ dk(x,y) db(x,y) db t (x,y) db(x,y) 

 109. hmb t (x,y) = b(x,y), hm - ' ■" = - — . hm —-— = — ±- 



*=oo * = oo 0Ji da * = 00 d^ d^ 



Es sei F* (#,y) die Lösung der linearen Integralgleichung 

 (1 10.) V k {x,y) - L k (x,y;%,ri) F*(g,rj)d|rfrj =ß(x, y), 



/*(*»#) = -^ri*[log{**(*-«) s + ä*(y-y) ! '}]. 



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