44 L. Lichtenstein: 



Hierin bezeichnen L k {x,y ; £, i)) , L k {w) ,f k (x ,y) die Ausdrücke, die 

 aus den Ausdrücken L{x,y;^,v\), L(w) ,f(x,y) entstehen, wenn man in 



r, --,1 



diesen die Funktionen a ,b ,a ,b , a,, R , — , — entsprechend durch die 



Funktionen a k (x,y) = a k , b k , a k (x,y) = ö,., &i(ä,y) = b k , a k {£,vi) = ct k , 



ß k , — — und - - ersetzt. Aus den Entwicklungen des zweiten Kapitels folgt, 



daß man eine Größe q* so klein wählen kann, daß für alle Werte der 

 Größe 9<9* die Integralgleichung (110.) für jeden Wert des Zeigers k 

 gewiß eine Lösung hat. (Es sei daran erinnert, daß die Größe 9 den 

 Halbmesser des Kreises T um den Punkt (x,y) bezeichnet. In den Ent- 

 wicklungen des zweiten Kapitels tritt bei diesen Betrachtungen an Stelle 

 der Größe A die Größe A ein, an Stelle der Zahlen M,m,N treten ge- 

 wisse positive Werte M*, m*, N* ein.) 



Diese Lösung kann, wie an jener Stelle auseinandergesetzt worden 

 ist, nach dem Verfahren der sukzessiven Approximationen ermittelt werden. 

 Man erhält 



(III.) K(x,y) = Vf^x,y) + (VM(x,y)-Vi°Hx, y)) + (VU(x,y) -¥"(*,?,))+ ■■■ 



Es sollen jetzt diese unendliche Reihe und die unendliche Reihe 



(112.) V(x,y)= F'°> (x, y) + ( V^ (x, y) - F<°> {x ,y)) + (V^ {x ,y)- F<'> {x,y ))+••• 



einer vergleichenden Betrachtung unterzogen werden. 



In allen Punkten der Menge T-q 2 , außer im Punkte (x,y), ist offenbar 



(11 3.) Iimltf»t*,y)=>«(*,y). 



k = 00 



Es sei (x,y) irgendein Punkt der Menge T-q 2 . In allen Punkten 

 ( £ , vi ) des Gebietes T, außer wenn £ = x , v\ = y , ist 



(114.) lim L k {x,y;%,vi) = L(x,y;%,rj) . 



k = 00 



Daher ist in allen Punkten des Gebietes T—q. if den Punkt (x,y) 

 ausgenommen, 



(115.) ]im(VP{x,y)^V^(x iy j)=VM( Xi y)-VW(z,y). 



k = 00 



In ähnlicher Weise überzeugt man sich, daß in allen Punkten der 

 Menge T-q 2 



(116.) ton (V£**(x,y)-VP {*,$)) =f F«'+») (x,.y)-V®(z,y) , (i= 1,2, ■••). 



