46 L. Lichtenstein: 



erstreckt über irgendeine geschlossene, mit allen ihren Punkten dem Ge- 

 biete K angehörende rektifizierbare Kurve S, hat den Wert Null. Denn 

 die Integrabilitätsbedingung 



ist offenbar erfüllt. 



Beachtet man die Beziehungen (104.), (109.), (120.), (122.) und (123.), 

 so erhält man nunmehr die Gleichung 



Cd a 



(127.) -b {x , y) — ® {x, y ; x, y) dx + a (x , y) — ® (x , y ; x , y) dy = . 



J il y dx 



s 



Hiermit ist aber auch gleichzeitig bewiesen, daß jedes hin- 

 reichend kleine, im wesentlichen stetig gekrümmte, von Singu- 

 laritäten freie Flächenstück zusammenhängend und in den klein- 

 sten Teilen ähnlich auf einen Teil einer Ebene abgebildet werden 

 kann. 



§ 3- 



Um die stellenweise etwas umständlichen Berechnungen übersichtlicher 

 zu gestalten, ist bei allen bisherigen Betrachtungen vorausgesetzt worden, 

 daß die Größe F gleich ist, d.h. daß die Kurvenscharen auf der Fläche, 

 welche entsprechend durch die Beziehung x = konst. und die Beziehung 

 y = konst. charakterisiert sind, zwei orthogonale Kurvenscharen darstellen. 



Der allgemeine Fall erledigt sich in ganz ähnlicher Weise. In den 

 folgenden Zeilen soll auf die wichtigsten hierbei eintretenden Modifikationen 

 kurz hingewiesen werden. 



Es seien a{x,y), b(x,y) und d(x,y) reelle eindeutige Funktionen, 

 welche stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben und der Be- 

 ziehung a(x, y) b(x, y)-d 2 (x, y) > genügen. Es sei V(x,y) wie im 

 § 1 des I. Kapitels eine stetige, der Hold ersehen Bedingung genügende 

 Funktion, (x , y) ein Punkt im Innern des Gebietes T. Der Einfachheit 

 halber sei a (^ , y\) — u , &(£,»]) = /Q, d(£,*l) = <^, a (x , y) = a , b(x ,y) = b , 

 d(x,y) = d gesetzt. Das Integral 



