Sur l’application des nombres entiers complexes etc. LI 
La recherche des solutions entières de l’&quation (1) 
dépend alors exclusivement de l’étude de ce produit, et ce 
produit étant un nombre entier complexe, cette étude peut 
se faire tout naturellement à l’aide de la théorie de ces 
nombres. 
Je me suis servi de cette méthode dans un travail: 
Solution complète en nombres entiers m, n, x, y, k de 
l'équation m are tg + narc CODE Christiania Viden- 
skabsselskabs Skrifter 1895. Après avoir fini ce travail, j'ai 
remarqué que GAuss a déjà observé cette liaison entre les 
nombres entiers complexes et les arcs-tangentes. 
En effet, dans une petite note (Gauss Werke II p. 523) 
à la fin des œuvres complètes de GAuss, M. SCHERING 
donne un court résumé de quelques calculs entrepris par 
ce grand géomètre et trouvés dans, ses manuscrits. Ces 
calculs, sans développements ou démonstrations ultérieurs, 
montrent que Gauss s’est servi des décompositions des 
nombres entiers complexes pour évaluer des arcs-tangentes 
simples par des séries rapidement convergentes. Dans ce 
but il a calculé ses tables des diviseurs (Voir L e. p. 477) 
des nombres 1 + x?, 4 + x?....81 + 2%, où se trouvent une 
foule des décompositions en diviseurs premiers de pareils 
nombres. 
D'ailleurs, il n’a pas étudié les équations de la forme (1) 
dans les cas généraux. 
Nous reviendrons plus tard à la note de Gauss. 
