Sur application des nombres entiers complexes etc. 31 
Elle a donc contracté un certain intérêt historique. 
Déjà EULER a posé le problème de la résoudre complètement 
en nombres entiers, mais sans y réussir; il a trouvé deux 
des solutions indiquées ($ 1). MAcHIN a trouvé la solution 
la plus commode pour le calcul de x, savoir celle qui porte 
son nom ($ 1) et qui est bien connue. 
En 1895, M. GRAVÉ å St. Pétersbourg posa ce problème 
comme question dans Z’Intermediaire des Mathématiciens 
(T. II, p 228); mais jusqu'ici il me semble qu'on n’y avait 
pas répondu complétement. 
Dans mon travail: Solution complète ete. déjà cité Pai 
réussi à résoudre complètement ce problème. En effet j'ai 
trouvé le théorème suivant: 
Théorème 7. 
Les seules solutions en nombres entiers x, y, m, n de 
l'équation 
I = 
maretg ; +-naretg =k 
om |æ.y|>1 et où 
1) k est un nombre entier et m, n et k non tous divisibles 
par. un même diviseur, ou 
2) k=0 et m et n premiers entre eux, 
sont celles déjà trouvées: 
I I 7 
arctg— + arctg - =- (EULER 
a er ( ) 
>aretg I — aret EE 
ARE en: 
2 arc te — arc tg 2 =" (EULER, VEGA) 
7 
4 are te — are tg = =" (MACHIN) 
