Sur Vapplication des nombres entiers complexes ete. 55 
et si Von définit x, et y, par ces dernières équations pour 
toutes les valeurs de p, l'équation 
I I I 
aretg == Harets — 2 are ig - 
Ton — 1 Von +1 Yon 
subsiste encore. x, et y, sont alors des fonctions entières å 
coefficients entiers de la variable indépendante p, et l’équa- 
tion aux arcs-tangentes est une identité entre ces fonctions. *) 
Le cas le plus simple, n—1 donne p. ex. 
I I 
— —— = 2 are tg — 
4p? + 3p 8 2p 
are tg, + are tg 
J’ai étendu ces théorèmes à l’équation de Pell générale 
x? —Dy?=-E1, mais ce west pas ici l’endroit d’insister 
å ce sujet. **) 
c) Considérons le cas spécial où 1 + x? est un nombre 
premier ou le double dun nombre premier. 
Soit donc 
1 -Ha2=2".p 
*) On est conduit, par cette circonstance, à étudier des équations 
fonctionnelles de la forme: 
c, arctgu, +c, arctgu + ... +c,aretgu, =k" 
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où U, ,Uzy ++. u, sont des fonctions d'une variable indépen- 
dante x. 
##) Voir une note qui va paraître dans le recueil danois «Nyt 
Tidsskrift for Mathematik». 
