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REPORT — 1894. 



tales suivantes : 1° Deux droites riemanniennes situ^es dans un meme plan se 

 coupent en deux points situ^s a une distance 2A toujours la meme quelles que 

 soient les deux droites (voir De Tilly, ' Essai sur les principes fondamentauxde la 

 G6om6trie et de la M^canique,' dans les ' Memoires de la Soci6t6 des Sciences 

 Physiques et Naturelles de Bordeaux,' 2» s^rie, t. iii. 1"^ caliier, ch. i.). 2° La 

 somme des trois angles d'uu triangle est sup(5rieure a deux droits (voir ' Matliesis,' 

 aout 1894, 2= s6rie, t. iv., pp. 181-182). 



II. On d6montre, comma dans le cas de la g^ometrie lobatchefsklenne, les 

 th^oremes suivants : 



1° Dans un triangle rectangle ayant pour hypotenuse s, pour cot^s x, y, si s 

 tend vers z^ro. Tangle (s,.r) restant constant (.r:s) tend vers une limite finie en 

 d6croissant ; (y : z) tend aussi vers une limite finie, mais en croissant. 



2° Si u et u', V et v' sont les c6t6s opposes d'un quadrilatere, trirectangle en 

 (u, v), (ti, v') et (y, u'), et si u tend vers 0, {u':ii) tend en ddcroissant vers une 

 limite cf) (v), dependant de v seulement ; on a d'ailleurs (u':u) < <^ {v'). 



III. Theoei: ME FONDAMENTAL.— On a <^ (.f + y) + (j> (.^• -y) = '2(}) (.r) <|) (y). 1° 

 Consid^rons le triangle OAw hirectangle en A et a ; posons AB = .r-y, AC = .r, 

 AD = x + y, 0A = A. Menons Bb, Gc, DcZ perpendiculaires aOA et rencontrant Oa 

 en b, c, d; de b et d abaissons bin, dn perpendiculaires sur Cc, Soit encore 

 BB' = a, B'b' perpendiculaire a OA et rencontrant Oa en b', b'm' une perpendiculaire 

 aCc. 



2° D'apros II. 1°, on a cd>cb ; par suite, cn>c7n, ou 2 Cc>Cm + Cn. Ensuite, 

 20c 

 Aa 



20c /B6 . Bb\ /TM . J)d\ 

 \Aa ' Cm/ * \Aa ' cJ' 



et, a la limite (II. 2°), 



^^ ' ^(.y) <f>(y) ' 



3° D'apres II. 1°, on a encore 



cm cn Cc 

 7b cd Oc' 



Cm-Cc^Cc /B6 Bb\ Cc ^ cb Cc 



ou 



cb 



/B6 . Bb\_Cc cb Cc 



' Va« ■ Cm' Aa OcAa' 



Cc-Cw^Cc Co_/Bd. \ cdCc 



cd Oc' Aa \Aa ' Cn) OcAa' 

 Passant a la limite, 11 vient 



*-^-*«-^.*-. 



A -a.' 



et, par addition, 



La fonction (f) est done continue. 



(py A-.v^ 



<f) (x-y)-<ji(x-i-y) < -^ (j)X(l>y < ^^. 

 A—x D—x 



