TRANSACTIONS OF SECTION A. 581 



4° On a 



cy>CB' -B'b' -CoCB + a-2Aa = CD + a-2Aa>cd + a-2\a. 



On pent supposer 2Aa inferieur a la quautitd fixe a ; dans cette hypotbese, on a 

 c6' > cd, cm' > C7J, Cm' + Cn > 2Cc, puis 



/W . B'b'\ /Dd . T)d\ 2Cc 

 \Am ■ C?n'J'*'\Aa ' Cn) Aa' 

 et, a la limite, 



</>(.r-y-a) <^(.r + y)^^., . .. 



b° Faisons tendre a vers zero, il viendra 



6° Des relations (a), (J) on conclut le thdoreme, 



IV. On d6montre, comme dans le cas de la g^om^trie lobatchefskienne, les 

 propositions suivantes : 



1° On a ^ (a) = cos (-^), k etant une constante. 



2° Dans un triangle rectangle ayant pour hypotenuse z, pour cotiSs .v, y in a 



3° Dans un triangle ABC quelconque, 



cos C etant une fonction qui ne depend pas de la grandeur des cotiSs a = BC, 6 = AC, 

 mais seulement de Tangle C oppose au cote c = AB. 



9. Formulcefor Linear Suhstitution. 

 By Professor E. B. Elliott, M.A., F.R.S. 



If(Ao,Ai, A„...A„)(.r,7/)" 



= (a^, a,, ffj) • • • «») Q-i' + »'y, i'-i' + m'yY 



and Q, denote the operators 



aQ~- + 2a^—- -t- . . . +na„_i— - 

 aa^ aa^ dan 



d , -.-. d d 



«a +(n-l)a + ... +a„_ 



respectively, then, P (a) denoting a rational integral homogeneous isobaric functioa 

 of Oq, flj, flj} • • • "ni "whose order and weight are i and w, 



"^Q ''"' o 



P (A) = Qm' - I'm) in-<r,ji'2u,-ingm' g Im'-l'm p (a) 



''o _'?__o 



