Die Konstruktion der F\,, welche aus der Betrachtung 
dieser Querschnitte folgt (Artikel 5), führt ohne Schwierig- 
keiten zur Darstellung der Koordinaten eines Punktes der 
Fläche als Funktionen von 2 Parametern. 
Zu bemerken ist noch, daß die Umformung, welche zu 
Gleichung (8) geführt hat, nicht möglich ist für k,—=0, d.h. 
k—1. In diesem Fall hat man eine Reihe von sich berühren- 
den Kreisen und die F', zerfällt in die Ebene z=0 und in 
die Fläche dritter Ordnung 
2 (0? Hy?) — 2ba2(2 — a) = 0 
7. In der nachfolgenden Untersuchung braucht man die 
erste Polarfläche der F, für den unendlich fernen Punkt der 
2-Axe, d.h. für den Doppelpunkt D„ der F,. Diese Fläche 
P, kann analytisch oder geometrisch untersucht werden. Die 
bequemste Gleichungsform ergibt sich aus Gleichung (8) des 
vorigen Artikels, nämlich 
P,=(ex=—k,?bz-+k,’ab) (<—k,’b)—2(k’2°—k,’y?) = 0 
Diese Gleichung ist erfüllt für: 
1) z2—k,’bz+k’ab=0 und z=0 
D.h. P, enthält 2 unendlich ferne unendlich benachbarte 
Gerade in der Ebene 2—=0 oder E,. Die Ebene E, ist also 
eine singuläre Tangentialebene der ebanchien Fläche. 
2) s—kb=0 und z=0 
D.h. P, enthält die Gerade der Ebene xy von der 
Gleichung 2—%k,?b=0. Diese ist die Polare des Ursprungs $ 
in Bezug auf den Gegenkreis R. 
3) z7—k,”bz-+k’ab=0 und Kr —k’y’—=0 
D.h. P, enthält die beiden Hyperbeln, nach denen F', 
von den 2 singulären Tangentialebenen berührt wird. 
4) 2 —k,d—0 md RE’ yp—0 
D.h. P, enthält auch die zur Ebene xy senkrechten 
Asymptoten der unter 3) erwähnten Hyperbeln. 
Außerdem hat P, die imaginären Kreispunkte der Ebene 
xy zu Doppelpunkten "und die Verlinken dieser beiden 
Punkte mit dem Doppelpunkte D„ sind 2 der Fläche an- 
gehörige Gerade. 
Diese Eigenschaften ergeben sich auch geometrisch einfach. 
Eine Gerade senkrecht zur Ebene xy schneidet F', außer 
im Doppelpunkt D,, noch in 2 weitern, im allgemeinen im 
