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Büschels von unter sich parallelen Strahlen. Die Kreise U’ 
des neuen Büschels gehen durch die Berührungspunkte der 
Tangenten aus 5, an den Gegenkreis 9‘. Die Strahlen v‘ 
des neuen Büschels sind die Polaren des Punktes 5 in Bezug 
auf die Kreise K der ersten Reihe. Die 3 Paare entsprechen- 
der Elemente U‘ v‘, welche die Projektivität bestimmen, sind 
die folgenden: 
1) U‘, sei der Kreis des Büschels, welcher durch S, geht; 
diesem entspricht die Polare v‘, von S$ in Bezug auf 
den Kreis &, der ersten Reihe, welcher dem Nullkreis 
S, der andern Reihe korrespondiert. 
2) Dem Gegenkreis )'— U‘, entspricht der unendlich ent- 
fernte Strahl des Büschels als v,‘. Der Mittelpunkt 
dieses Kreises ist demnach der Doppelbrennpunkt der 
Kurve I“, und zugleich ein singulärer Brennpunkt der (,. 
3) Dem unendlich großen Kreis U‘, des Büschels entspricht 
als v‘, die Polare von $ in Bezug auf den Gegenkreis 
R. Es ist also die Verbindungslinie @, 6, = U, die 
reelle Asymptote von I“, und der Schnittpunkt der Ge- 
raden U‘, und v‘, ist der zugehörige Tangentialpunkt. 
Damit ist auch die Kurve I“, vollständig bestimmt. 
Die Kurven T', und I“, sind zirkular und haben den- 
selben Tangentialpunkt für die reellen Asymptoten. Die 
6 übrigen gemeinsamen Punkte dieser beiden Kurven 
dritter Ordnung sind die Doppelpunkte der (,. 
Aus der Konstruktion folgt, daß die 6 Doppelpunkte 
der C, im allgemeinen nicht auf einem Kegelschnitt liegen. 
Sie liegen auf einem Kegelschnitt, wenn die Zentralen der 
beiden Kreisreihen dieselbe Richtung haben. 
13. Wirkliche Doppelpunkte der R, und Doppelpunkte 
zweiter Art der C,. Die projektive Beziehung der beiden 
Kreisreihen kann so spezialisiert werden, daß die Kurve (, 
noch weitere Doppelpunkte, jedoch von anderem Charakter 
als die bereits gefundenen, besitzt. Die gegenseitige Lage 
der Flächen X? und F, kann derart sein, daß die Durch- 
dringungskurve R, wirkliche Doppelpunkte aufweist. Die aus 
solchen hervorgehenden Doppelpunkte der CO, sollen Doppel- 
punkte zweiter Art der C, genannt werden. Die Durch- 
dringungskurve von 2 Flächen bekommt einen wirklichen 
Doppelpunkt, wenn die beiden Flächen sich in einem Punkt 
