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berühren; d. h. wenn beide Flächen in einem gemeinsamen 
Punkt dieselbe Tangentialebene haben oder wenn ein Doppel- 
punkt der einen Fläche auf der andern Fläche liegt. 
Die Kurve Ö, wird also Doppelpunkte zweiter Art be- 
kommen, wenn die projektiven Kreisreihen so gewählt sind, 
daß F', und K? in einem gemeinsamen Punkt dieselbe Tangen- 
tialebene haben oder wenn S* auf K? oder endlich $,* auf 
F, liegt. 
Der Fall, daß der Doppelpunkt D., auf K? liegt, kann 
hier nicht in Betracht kommen, weil dann die Ordnung von 
C, um 2 Einheiten verringert würde. 
Die beiden letzten Kriterien für das Auftreten eines 
Doppelpunktes zweiter Art sagen aus: 
Wenn der Kreis % der zweiten Reihe, welcher dem 
Nullkreis 5 der ersten entspricht, durch S geht, so ist $ ein 
Doppelpunkt der ©, oder wenn der Kreis &, der ersten Reihe, 
welcher dem Nullkreis $, der zweiten entspricht, durch $, 
geht, so ist S, ein Doppelpnnkt der C,. Es bleibt noch zu 
untersuchen, welche Bedingung erfüllt sein muß, damit 2, 
und X? in einem gemeinsamen Punkt dieselbe men 
ebene haben. Soll P* diese Eigenschaft haben, so müssen 
durch P 2 korrespondierende Kreise X und K’ der beiden 
Reihen gehen, welche sich in P berühren. 9» sei die Tangente, 
nach der die Berührung stattfindet. Ist WR der homologe 
Punkt zu P auf dem Gegenkreis R, so ist die Parallele q’ 
zu p durch den symmetrischen Punkt zu R bezüglich P die 
Spur der Tangentialebene der F, in P* auf der Projektions- 
ebene K,. Die Verbindungslinie S, P muß in dieser Tangential- 
ebene liegen; ihr Durchstoßpunkt muß sich somit auf q' 
befinden. Konstruiert man also den Gegenkreis Q' so, daß 
er im Schnittpunkt von q’ und 8, P die Linie q’ berührt, so 
haben K” und F, in P* eine gemeinsame Tangentialebene 
und dem zufolge C, in P einen Doppelpunkt zweiter Art. 
Das Kriterium für einen Doppelpunkt zweiter Art ist also 
folgendes: P ist ein Doppelpunkt zweiter Art für (,, 
wenn die Kreise X und X’, aus denen P entstanden 
ist, sich in diesem Punkt berühren und die Tangente, 
nach der diese Berührung stattfindet, in der Mitte 
liegt zwischen der homologen Tangente r des Gegen- 
b) 
