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kreises Rund der homologen Tangente q’ des Gegen- 
kreises W". 
Durch das Vorhandensein eines Doppelpunktes P wird 
das Geschlecht der C, um eine Einheit reduziert. 
Durch Vereinigung von Doppelpunkten zweiter Art mit 
solchen erster Art können auch höhere Singularitäten, näm- 
lich dreifache und vierfache Punkte der Ü, hervorgebracht 
werden. Die Untersuchung der einzelnen Fälle ist interessant, 
würde aber hier zu weit führen. Ein Beispiel mag genügen. 
Es soll gezeigt werden, wie die Annahmen zu treffen sind, 
damit OC, die Punkte 5, S, und einen beliebigen Punkt P zu 
Doppelpunkten zweiter Art hat. 
Für diesen Fall muß also S* auf K? und $,* auf F/, 
liegen; ferner müssen K? und F, in P* eine gemeinsame 
Tangentialebene haben. 
Von der ersten Kreisreihe seien gegeben: S, der Gegen- 
kreis R, der Kreis K, auf welchem P liegen soll und end- 
lich der Kreis 3,, welcher dem Nullkreis S, der zweiten 
Reihe entsprechen soll. Dann ist durch diese Angaben die 
zweite Reihe zweideutig bestimmt. 
Die Spitze $,* des Kegels K? muß liegen in der Tangential- 
ebene in P* an F', und auf dem Kreis %,*, dessen Projektion 
%, ist. Dieser Punkt ist also einer der beiden Schnittpunkte 
der Tangentialebene mit 2,*. Man findet die Projektion 
dieser Punkte durch folgende Ueberlegung: p sei die Tangente 
von K in P, q’ die Spur der Tangentialebene auf E,, ro 
die unendlich ferne Gerade der Ebene und endlich s die 
Projektion der gesuchten: Schnittlinie der Tangentialebene 
mit der Ebene des Kreises 3,*. Dann ist die letztere Gerade 
bestimmt durch die Projektivität: 
BerSIHHREREN), 
wobei X, der unendlich große Kreis der Reihe ist. Das 
Büschel der 4 Strahlen muß also zur Reihe der Mittelpunkte 
jener 4 Kreise projektiv sein, wodurch s eindeutig bestimmt 
ist, da alle andern Elemente bekannt sind. Schneidet man 
jetzt s mit 2,, so ist einer dieser beiden Schnittpunkte der 
gesuchte Punkt 8. Es sei ferner o die Projektion der 
Schnittlinie der Tangentialebene mit der Parallelebene zu &, 
durch den Punkt $,*. Zur Bestimmung von o hat man die 
Projektivität: 
