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Mittelpunkt geht die Kurve über in eine C, mit einem un- 
endlich fernen Doppelpunkt. 
b) Haben beide Kreisreihen die charakteristische Kon- 
stante k — 1, so kann man nach Artikel 6 die erste Reihe 
betrachten als Projektionen der Querschnitte einer Fläche 
dritter Ordnung F, mit den zur Bildebene parallelen Ebenen 
und die zweite Reihe als Projektionen der Querschnitte eines 
Kegels X? mit denselben Ebenen. Die Durchdringungskurve 
beider Flächen ist eine Kurve sechster Ordnung, welche in 
den imaginären Kreispunkten der Ebene &, und im Punkt 
Dü wirkliche Doppelpunkte hat. Die Projektion dieser Kurve 
auf #,, also das Erzeugnis der beiden projektiven Kreisreihen, 
ist eine bieirkulare Kurve vierter Ordnung, welche durch $ 
und 5, geht und in diesen Punkten die Tangenten der beiden 
Kreisreihen berührt. 
In den Fällen a) und 5b) kann man nach der allgemeinen 
Methode noch Doppelpunkte zweiter Art erzeugen. 
15. Eine lineare Kreisreihe kann auch zu andern Ge- 
bilden erster Stufe in projektive Beziehung gesetzt werden, 
vorausgesetzt, daß diese Gebilde rational sind. Im Anschluß 
an Artikel 14 soll hier das Erzeugnis der projektiven Zu- 
ordnung der Kreise einer linearen Reihe zu den Kreisen eines 
beliebigen Büschels untersucht werden. 
Die Kreise eines Büschels mit 2 getrennten Grundpunkten 
können angesehen werden als Orthogonalprojektionen der Quer- 
schnitte eines Hyperboloides 7? mit den zur Bildebene parallelen 
Ebenen. Das Hyperboloid geht durch das unendlich ferne 
Projektionszentrum und ist ein hyperbolisches, wenn die Grund- 
punkte reell sind, ein elliptisches, wenn die Grundpunkte 
imaginär sind. Die Grundpunkte @ und Z des Kreisbüschels 
repräsentieren die Projektionen der 2 durch das Projektions- 
zentrum gehenden Erzeugenden g und !der Fläche. Die Kreise _ 
der Reihe stellen dann wieder die Projektionen der Quer- 
schnitte der zur Bildebene parallelen Ebenen mit einer F', 
dar. Die beiden Flächen F, und 4? durchschneiden sich in 
einer Kurve achter Ordnung, welche die imaginären Kreispunkte 
der Bildebene zu dreifachen Punkten und das Projektions- 
zentrum D_„, zu einem Doppelpunkt hat. Die Projektion 
dieser Kurve aus D_, ist eine Kurve sechster Ordnung. Die 
imaginären Kreispunkte sind dreifache Punkte der Kurve, die 
