16 Kummer: 



c • tg ^ 1 



tga 



ist , ist die Integration in Beziehung auf <p nur in den Gränzen 



<p = — 7r -+- 7 und </> = -(- TT — y auszuführen, für welche beide Gränzen 



cos w = wird, wenn y durch die Gleichung 



c . tgvj' 

 cos y = — — - — 

 tgo 



bestimmt ist. Setzt man noch der Einfachheit wegen 



-2— = tg ß, 

 c ö 



so findet der erste Fall Statt in dem Intervalle '-^ = ß bis \^ = -=-, der 



z 



zweite Fall in dem Intervalle \f/ = bis \^ = /3. Es ist darum jedes der 

 drei Doppelintegrale in zwei Theile zu zerlegen und die Gränzen der In- 

 tegrationen in dem einen Theile sind <p = — ir bis (p = -(- tt und \J/=/3 



bis \^ = -g-, in dem anderen Theile aber sind die Gränzen der Integra- 

 tionen (p = — T-l-y bis (p = -f- 7r — y und 4/ = bis \p = /3. 



Entwickelt man nun das Quadrat der zweitheiligen Gröfse cos w, 

 so kann man in beiden Fällen die Integrationen in Beziehung auf <p leicht 

 ausführen, da sie nur Integrationen von Potenzen des Cosinus sind. Man 

 erhält so für X folgenden Ausdruck : 



Y 



. cos 3 ^ sin \|/ d-4s 

 . X = 2 k r 2 tt sin a cos a 



/cos 



3 sin 2 \|/ 

 ß 

 ß 

 2 k r 2 . 9 /' cos 3 4; d-Js sin y (2 -+- cos 2 y) 



sm -a 



J 



■g— ou , .^ l_ c ' 2 s in 2 ^ 



ß 



C cos 3 4/ sin -^d^ Ojf - — y — sin y cos y) 



k r 2 sm a cos « I - — ^ — ; — =-: 



.y 1 — c J sm *\f/ 



o 

 cos 2 \^ sin 2^ J-^ sin y 



o 

 2 /er 2 c cos 2 « 



J ■ — 



c' 2 sin 2 \^ 

 o 



