— 91 — 



ея приближеннымъ выражеп1емъ при помощи полинома Р„{х), т. е. высш1н 

 пред'Ьлъ модуля дополнптельнаго члена р^ (х) въ разложении (4). 



Мы не можеыъ также ничего сказать о самой возможности разложен1я 

 дапно11 Функц1и /'(а) въ ряды по полиномамъ Чебышева, если не считать 

 трехъ весьма частныхъ случаевъ, когда полиномы (1) обращаются въ поли- 

 номы Якоби пли полиномы Эрмита-Чебышева. 



Въ мемуар-§ подъ заглав1емъ: «8иг ипе аррИсаНоп йе 1а 1Ьёопе с1е 

 Геггаеии'е аи ргоЫёте йи с1еуе1орретеи(; с1ез Гопсйопз агЪ11га1ге5 еп зёпез 

 ргосё(1ап1 зпхуап!; 1ез ро1употез с1е ТсЬёЬхсЬеГЬ, который появится въ 

 «Запискахъ Императорской Академхи Наукъ», я разсматриваю некоторые 

 пзъ только что упомянутыхъ вопросовъ при весьма общихъ услов1яхъ отно- 

 сительно характеристической Функфи р {х). 



Я указываю прхемъ р-Ьшен1Я задачи о разложен1и для всЬхъ системъ 

 полиномовъ Чебышева при единственномъ услов]и, что характеристическая 

 пхъ Функп,1я р (х), оставаясь всегда положительной въ интервалЬ (а, Ь), можетъ 

 представляться подъ видомъ 



X 



(6) Р{^)= I 2 {х) Лх-\-С, 



гдЬ ^(рс) есть функция интегрируемая, С — некоторая постоянная. 



Я доказываю, именно, что дополнительный членъ р^(х) въ разложент 

 (3) всегда стремится равномгьрно къ пулю, коль скоро разлагаемая функцгя 

 импетъ въ интервалт (а, Ь) производную, удовлетворяющую тому же ин- 

 те1ральному условгю типа (6), что гь функцгя р) (х). 



Хотя этотъ щпемъ еще недостаточенъ, чтобы дать точное выражен1е 

 дополнптельнаго члена ^^{х), гЬмъ не мен^е онъ позволяетъ г{айти высшгй 

 предплъ модуля р^^(х) для воьхъ значенгй х, лежащихъ между а и Ъ, и, въ 

 то 01се время, точное выраженге квадрата дополнительнаго члена р^Сх), а 

 иногда м самого дополнительнаго члена, для предгьльныхъ значенгй 



х^а и х = Ъ. 



Эти резз'льтаты могутъ представлять, на мой взглядъ, интересъ какъ 

 сами по себ'Ь, такъ п потому, что приближаютъ насъ къ р'Ьшенхю основной 

 и крайне сложной задачи объ опред'Ьленхп точнаго выражен]я дополнитель- 

 наго члена р^ (х) въ разложен1и (4). 



5. Что касается этой послЬдней задачи, то она оказывается эквива- 

 лентной слЬдующей : 



Пзв-Ьст!я П. А. Ц, 1(113. 



