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par l’unité ou par une case noire. Si nous avons étudié p modules, nous aurons 
p bandes différentes, et la condition nécessaire pour avoir une solution, est que 
l’on trouve une bande verticale entiérement blanche, entre certaines limites. Au 
lieu d’avoir des bandes indéfinies, notre machine actuelle comporte p bandes 
presque égales d’une longueur pratique de trois métres environ enroulées sur deux 
cylindres entraineurs égaux, dont je vais donner le schéma au tableau. Le 
systeme est équilibré, et il est facile d’ajouter un mécanisme simple permettant 
d’étudier normalement cent lignes & la seconde. On pourra examiner ainsi 
quelques millions de nombres par jour, et résoudre des questions depuis longtemps 
sans réponse. 
Nous ramenons d’abord tout probleme indéterminé 4 une équation de la forme 
a+be+ca?+da>.. . =y" 
et & aide des nombres premiers successifs, nous n’ayons qu’a former la bande 
relative & chacun d’eux. Exemple 
2047=(6x-+5) (6y+-5) 
On aura, avec p inconnue auxiliare 
x+y=6p+5, xy=52—5p, 72.10 
36p?-+ 80p—1838=2 
On voit que p est pair, d’ou la bande 010101010. 
module 3 p=), 2 ies 010010010. 
mod. 5 p=2, 3 4 110011100. 
nombres réels 012345678... 
La premiere ligne blanche ou formée de zéros se trouve au nombre 2; c’est 
la solution cherchée ; 
p=2, x=3, y=14, 2047=23 x 89. 
J’ai trouvé rapidement pour y un nombre entier de neuf chiffres dans 
n=él(x+ 1)(x+-2)(e+3)—6]=3(y+ I)(y+ 2) 
a propos des courbes osculatrices.1 Je raméne ce probléme 4 3 équations de la 
forme 
at+bet+euv?t+d=2 
La décomposition de M,,, nombre de Mersenne connu, demanderait 4 minutes. 
Théoriquement, la longueur seule du calcul automatique pourrait empécher de 
décomposer des nombres énormes; nous ne résoudrons donc que ceux de formes 
spéciales ou ceux dont l’utilité nous serait signalée en Arithmétique Supérieure. 
Il est trés difficile d’exposer plus de détails dans un espace si mesuré, mais je 
reste a la disposition de nos collegues anglais, pour explications. 
3. On Mersenne’s Numbers. 
By Lieut.-Colonel ALLAN Cunninauam, R.E. 
These are of form M,=(2'—1), with q prime. 
Important progress has been made since last Report (1911), viz. :— 
M,,=228479*, 48544121}. 212885833}; *due to the present writer (1909) ; 
} (both prime) due to Mr, Ramesam, of Mylapore, India (1912). 
My, composite according to Mersenne, and confirmed by Ed. Lucas; but 
proved prime by R. E. Powers (America) and H. Tarry (France) in 
1911, and verified by E. Fauquembergue (France) in 1912. 
M,;;=0 (mod. 730758), found by the present writer in 1912. 
Thereby three mistakes have now been proved in Mersenne’s classification, viz., 
M,; proved composite; M,,, Mgy proved prime. 
1 Hermite, ‘ Cours d’analyse,’ 1873, p. 145. 
