— 66 — 



§ 2. Найденное выражен1е О (^,1) послужитъ намъ для разыскан1я 

 математическаго ожидан1я различныхъ степеней числа появлен1й событ1я 

 Е при п испытан1яхъ. 



Другими словами, обозначая число появлен1й событ1я Е при п испы- 

 тан1яхъ буквою ш, мы воспользуемся равенствомъ (13) для вычислен1я 

 суммъ 



при различныхъ значен1яхъ к ; а зат-Ьмъ отъ этихъ суммъ перейдемъ къ 

 суммамъ вида 



представляюш,имъ математическ1я ожидашя степеней разности ш — рп, гд-Ь 

 рп равно математическому ожиданш числа т. 



Для нам'Ьченной ц'Ьли прежде всего зам-Ьтинъ, что математическое 

 ожидан1е произведен1я 



ш {т — 1). . .(т — гн-1) 

 равно значешю производной 



при ^ = 1 и, следовательно, можетъ быть опред'Ьлено какъ зеачен1е коэф- 

 Фиц1ента при ^" въ разложенш по степенямъ произвольнаго числа ^ про- 

 изводной 



при Н = 1. 



Составляя эту производную и полагая въ ней ^ = 1 , получаемъ 



[ Л^^Щ ^ 1.2. ..гр1^ ( р од У-^ 



\ й|»' )§^1 (1-«)2 11— е 1~Ы) ^^^'' 



Отсюда при небольп1Ихъ значенхяхъ г получаемъ довольно простые 

 результаты; такъ, полагая 



г = 1, 2, 3, 4, 



