74 Д. А. ГРАВЕ, 



Введемъ въ разсмотрвще кривизну 



7 II \> 7 " ' 



кривой 2. 



Дифференцируя уравненш (2) и (3), получимъ 



<. = «'?'„ > У'и = Ъ '?'н 



Подставляя полученныя выралгешя частныхъ производныхъ въ урав- 

 нение ( 1 ), получимъ 



99 ' и{ а"Ъ'-аЬ")=Г 



Интегрируя пом, иолучаемъ 



р 2 & = 2 Ги-+-а 



гдЬ а Функщя одного V, вводимая интегрировашемъ. 

 Последнее уравнен1е можно переписать такъ 



р 3 ^ = 2мн-?{' (4) 



где 



к а 



Подберемъ Функцию р, т. е. Функцш [а, IV такъ, чтобы параллели были 

 прямыя или круги. 



Возьмемъ диФФеренщальное уравнеше 



о / ' " ' II, < I " II 1\ / 1Ъ '9.\ / ' '" 1/1 Л /ч 



Ъ(хх -\-уу){ху — х г/) — (х 2 -+-у 2 )(ху — х у) = 0, 



въ которомъ обозначенный производный взяты по буквт, V; во всемъ даль- 

 нЬйшемъ р', р", . . . будутъ обозначать производный по V. 

 Составимъ выражение 



х у — х у 



I ' I % >\ II I 1.1 I л 1\ . 7," 



ж=а(1н-р)-+-ра ; «/=о(1-*-р)-*-ро 



II ~ I И II /1 Г» '\ ''' " Т ' И 7./' / 1 Г» '\ 7 III 



х =ар -*-а(1-4-2р)-+-ра ; у =ор -+-Ъ (1-*-2р)-но р 

 Отсюда 



„' " " ' г ч г.' I г.И\ г " /1 '\ /л п >\л 



х у — х у ={а Ъ — а Ь ) [рр — (1-нр) (1-ь2р)] — 

 _ (а'" Ъ' — а'Ъ'") р ( 1 -н р ') _ (а'" Ъ" — а" . Ъ") р 3 = 

 = & [р р" — ( 1 -+- р' ) ( 1 -+- 2 р')] — &'р ( 1 и- р' ) — ( а" Ъ" — Ъ'" а") р 2 

 Легко, какъ известно, выразить а'"Ъ" — а'Ъ'" черезъ к; получимъ 



а'"Ъ"-Ъ'"а" = к 3 *). 



*) См. СЬ. НегшИе. Соигз сГАпа1у5е 1873, ра#. 157. 



Физ.-Мат. стр. 74. 2 



