О ПГОЭКЩЯХЪ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕН1Я НА плоскости и т. д. 75 



Итакъ 

 х'у"-~х"у'==ТсУ'— (14-р^(1-н2 Р ')]-^р(1-нр') — *У 



Изъ полученнаго выражешя можно исключить пронзводныя р' и р", 

 дифференцируя уравнеше (4) по V. 



2рр'[х-*-р 2 у-' = «'' (5) 



2(?' 2 -«-рр")1*-*-4?рУ-+-рУ = ге/'. . . (6) 



Подставляя выражеше 2рр"ц. изъ (6; въ 2 р. (х у" — %"у'), получимъ 



2\ь(х у" — х" у) = А ?' 2 ч- А^' -*- А 2 (7) 



ГДЕ 



А = — 6А-р , А г = — бку. — 2 р (А:' [1 -+- 2 к ц') 



А а = кго" — 2к\у.— 2Л'|Ар — р 2 (Й1л"-н2Р[х 3 ) 



Умножая на 4 р а р. 2 уравнеше (7), получимъ 



8 р 2 . р 3 {х у" — х'у) = А (2 р р>) 2 -+- 2 р 1х А х (2 р р' ц.) -+- 



-+-4р 3 [л 2 Л 2 = 



= Л Ы — рУ) 2 -»- 2 р р ^ (г«/ — ? 2 1»-') -+- 4 Р 3 1»- 3 Л = 



= 2 1 л[Ж р^М 1 р 3 + Ж 2 р 2 - + -М 3 р-4-Ж 4 ] 

 где 



Ж = А,>' 2 -+- 2 А>[л'— 2 [л(АУ-+- 2 рк 3 ) 



Ж, = бА;[Л[л'— 4А;'[л 2 



Ж 2 = 6 Ар' и;' — 2 и'(к'у. -+- 2 А; р/) -+- 2 ц (Ы'— 2 й{ь) 



Ж, = — 6 |1&и/ , Ж 4 = — 3 А;»-' 2 



Итакъ, сокращяя на 2 р, получаемъ 



Очевидно, что 



х' 2 -+- у' 2 = р' 2 -+- 2 р' -+- 1 -+- р 2 А; 2 



Умножая на 4 р 2 ^ 2 , получимъ 



4 р 2 (л 2 (ж' 2 и- ?/' 2 ) = (2 р?» 2 -+- 4 Р1 л (2 р р» -+- 4 р 2 у. 2 (1 -+- р 2 А 2 ) = 



= (м-' — р 2 ^') 2 -*- 4 р ц(и>' — р 2 р.') -4- 4 р 2 [л 2 (1 -+- р 2 ^) = 



= Р р4-нР 1 р 3 -нР 2 р 2 + Р 3 ?н-Р 4 (9) 



Фпз.-Ыат. стр. 75. 3 



