О ПРОИЗВОДНЫХЪ ФУНКЩЯХЪ ВЫСШИХЪ ПОРЯДКОВЪ. 325 



п(п-\- 1) 



(Д*/)Ф»~ 2 Ку = 



к = \ 



Д^ДФС*) — Ф(<0] ,'Л^[Ф(*) — ФФ] , ..2) в=5 [ф(г;)-ф(с)] 

 ^Дф(«)-Ф(с)] 2 .^[ф^-фф] 2 ,..Д = ДФ(*)-ф(0] 2 



7)1=, СФ И - Ф ЮГ 4 . *0* М - Ф ®\*~ 1 , • • ^= ДФИ-ФСе)]"" 1 



Чтобы найтп ртлнешя системы 7), мы сравнпмъ ее съ однимъ тожде- 

 ствомъ общаго характера, которое выводится атвдующпмъ образомъ. 

 Для какой угодно Функщи О можемъ написать 



л -»-* _*_ 5=* ц~ п в а к = о, 



А: 



где п и к остаются совершенно произвольными постоянными. Предполагая 

 теперь, что разность п — к есть цт>лое положительное число, получимъ изъ 

 предыдущего тождества, взявъ производную (п- — к — 1) го порядка: 



в н ~ к (а~ п . а 1 ) и- 5=* в п ~ к ~ ] (и~ п .ва к ) = о, 



или, применяя теорему Лейбница, 



п — к п-к-1 



2 ( п ' к )в р а- п .в п - к ' р а к ^ 2 ("~*~ 1 )1> 1 'о- и .2> и "*-*«*= о. 



^) = р = % 



Послт, прпведешя получимъ 



п — к 



V ^ ( п - к ) в р ог п .в п ~ к ~ р а к = о 



_ к \ Р I 

 -1п—\\ 



и, умножая ва< Л, напдемъ 



я— й 



8) ^ ( "-' )( п п _ -*_ ) в* о"" . у/-^-^ о* = 0. 



р=0 



Фш.-Ивт. стр. 303. 



