О ПРОИЗВОДНЫХЪ ФУНКЩЯХЪ ВЫСШИХЪ ПОРЯДКОВЪ. 327 



желательнымъ отыскать такое правило, которое было бы удобоприложимо 

 во всвхъ случаяхъ для вычисления коэФФищентовъ 2 к п . 

 Съ этою целью мы будемъ исходить изъ выражешя 



т\ п — 1 г?п—1 Г ьП-1 г 7 п—\ туг — 2 7 п—1 ^ 



В у = 2 , В I) -+- 2 „ В у -\ -+- 2, В и, 



въ которомъ коэФФпщенты предполагаются Функциями г. Перейти отсюда 

 къ выраженш В п у можно двоякимъ путемъ: или дифференцируя преды- 

 дущее выражение по х, или замъщая въ немъ у на В х у = ф'(.г)- 1 В г у. 

 ПримЬняя дифференцирование, получимъ 



В п у = ^{г)-^2 П ~\В П У ^(2 П -\^В 2 п -\)в п - 1 у + ... 



-*-№-] ,-нЛ 2 п -])В п Г к уч-... + В Х^.ВуЛ 



\ и — я — 1 е п—к/ г ** г 1 я ^ 



и, сравнивая эту Формулу съ 1), найдемъ систему п равенствъ 



2 п ф' {г) = 2 



га— 1 



) 



12) 



2 й , ф'(г) = 2 п ~\ "н-# Я*'], 



и— 1 т V / я — 2 г п — 1 ' 



2 й, (г) = 2 . , -+- В2 п ь , 



2\ ф' (*) = В, 2 



га — 1 

 г "1 .'. 



къ которой полезно присоединить условге 2 о п = о. 



Первое изъ равенствъ 12), по умножепш на ф'(г) п ~\ обнаруживаетъ, 

 что произведете 2 п, \>'(г) п не изменяется при измвнеше п, такъ что 



13) 2 п п ф' (*)" = 2? ф' (г) = 1. 



Умножая на ф' (г)" -2 второе изъ равенствъ 12) и замещая въ немъ 

 %2~1 еГ0 величиною ф'(г)— пн - 1 , прпведемъ это равенство къ виду 



<_! ф' (>г~ 1 = К-1 ♦' ^ й ~ 2 - ( м - !) ф" и Ф' ^)~ 2 ' 



откуда, полагая п = 2, 3, . . . и складывая результаты, получимъ 



^_ 1 ф' (,)- 1 = - -^1 ф" (г) ф' (,)- 2 



и т. д. Разсмотр-Ьте величинъ нт,сколькихъ первыхъ коэФФищентовъ 

 2 п , 2 п , , . . . позволяегъ заметить законъ зависимости этихъ коэффп- 

 щентовъ отъ ц-влаго числа п и отъ первой производной ф'(з), именно 



Физ.-Мат. стр. 307. 7 



